Question

5. Розв'язати систему лінійних рiвнянь:
• методом Гауса;
• за правилом Крамера;
• матричним методом;
=
{3x1 + 5x2=-4;
{-x1+3x2-2x3 = 2;
{x₁ + x₂ + x3 = 0.

Answer 1

Для розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гауса, спочатку переведемо її до розширеної матриці та застосуємо елементарні операції над рядками для отримання редукованої схеми:

```
[ 3 5 0 | -4 ]
[-1 3 -2 | 2 ]
[ 1 1 1 | 0 ]
```

Застосуємо операції над рядками для отримання редукованої схеми:
1. Додаємо перший рядок до другого:
```
[ 3 5 0 | -4 ]
[ 2 8 -2 | -2 ]
[ 1 1 1 | 0 ]
```

2. Віднімаємо перший рядок з третього:
```
[ 3 5 0 | -4 ]
[ 2 8 -2 | -2 ]
[ 0 -4 1 | 4 ]
```

3. Половимо другий рядок:
```
[ 3 5 0 | -4 ]
[ 1 4 -1 | -1 ]
[ 0 -4 1 | 4 ]
```

4. Додаємо чотири рази другий рядок до третього:
```
[ 3 5 0 | -4 ]
[ 1 4 -1 | -1 ]
[ 0 0 0 | 0 ]

Answer 2

Ответ:

Давайте розглянемо розв'язання цієї системи рівнянь за допомогою методу Гауса.

Спершу перетворимо систему рівнянь так, щоб отримати трьохкутну систему. Використаємо операції над рівняннями для цього.

Спочатку додамо перше рівняння до другого рівняння, помножене на -1:3x₁ + 5x₂ = -4

-x₁ + 3x₂ - 2x₃ = 2

x₁ + x₂ + x₃ = 0

Далі додамо перше рівняння до третього рівняння:

3x₁ + 5x₂ = -4

-x₁ + 3x₂ - 2x₃ = 2

4x₂ - 4x₃ = -4

Тепер ми маємо систему з трьох рівнянь:

3x₁ + 5x₂ = -4

-x₁ + 3x₂ - 2x₃ = 2

4x₂ - 4x₃ = -4Розпочнемо метод Гауса:

Розглянемо перше рівняння:

3x₁ + 5x₂ = -4

Помножимо це рівняння на 1/3, щоб отримати коефіцієнт x₁ рівним 1:

x₁ + (5/3)x₂ = -4/3

Тепер віднімемо отримане рівняння від другого рівняння:

x₁ + (5/3)x₂ = -4/3

-(x₁ + 3x₂ - 2x₃ = 2)4. Тепер віднімемо отримане рівняння від третього рівняння:

4x₂ - 4x₃ = -4

-(14/3)x₂ + 2x₃ = -10/35. Знайдемо значення x₃:

x₃ = (-2/3) * (3/22) = -1/11

Тепер підставимо x₃ назад у попереднє рівняння:

(14/3)x₂ + 2x₃ = -10/3

(14/3)x₂ + 2 * (-1/11) = -10/3

(14/3)x₂ - 2/11 = -10/3

Розв'яжемо рівняння для x₂:

(14/3)x₂ = -10/3 + 2/11

(14/3)x₂ = (-110 + 6) / 33

(14/3)x₂ = -104/33x₂ = (-104/33) * (3/14) = -104/462 = -52/231

Тепер ми знаємо значення x₃ та x₂. Тепер підставимо їх у перше рівняння:

3x₁ + 5x₂ = -4

3x₁ + 5 * (-52/231) = -4

3x₁ - 260/231 = -4

3x₁ = -4 + 260/231

3x₁ = (-924 + 260) / 231

3x₁ = -664 / 231

x₁ = (-664 / 231) * (1/3)x₁ = -664 / 693

Отже, розв'язок системи рівнянь методом Гауса:

x₁ = -664 / 693

x₂ = -52 / 231

x₃ = -1 / 11