Question

1. Знайти всі комплекснi корені рівняння
z3 - √2 + i√6 = 0.

Answer 1

Для знаходження всіх комплексних коренів рівняння z^3 - √2 + i√6 = 0 використовують формулу Кардано для кубічних рівнянь:

Почнемо зі зміщення рівняння, віднімемо √2 і i√6 від обох боків:

z^3 = √2 - i√6

Тепер знайдемо головний кубічний корінь з обох боків:

z = ( ∛(√2 - i√6) )

Знайдемо значення виразу в дужках:

√2 - i√6 = √2 - i√(2 * 3) = √2 - i√2√3 = √2(1 - √3i)

Підставимо це значення в формулу для знаходження коренів кубічного рівняння:

z = ∛(√2(1 - √3i))

Тепер ми можемо знайти три корені, враховуючи всі можливі значення k = 0, 1, 2:

a. Перший корінь:

z1 = ∛(√2(1 - √3i)) при k = 0

b. Другий корінь:

z2 = ∛(√2(1 - √3i)) * exp(2πi/3) при k = 1

c. Третій корінь:

z3 = ∛(√2(1 - √3i)) * exp(4πi/3) при k = 2

Знайдені значення z1, z2 і z3 будуть комплексними коренями рівняння.