Question

Докажите или опровергните что
x⁵ = O(x²) при x → 0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Докажем, что $x^5=O(x^2)$ при $x\to 0.$

В этом задании обе функции являются бесконечно малыми при x → 0, то есть обе стремятся к нулю,  когда x стремится к нулю. При этом x² не равен нулю при x ≠ 0.

Говорят, что $f(x) =o(g(x))$ при $x\to a,$ если в некоторой проколотой окрестности точки a

                                     f(x)=g(x)·h(x),

где h(x) является бесконечно малой при $x\to a.$ Если g(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки  a (то есть в самой точке a она может равняться нулю - нас это не интересует),  то это определение можно переформулировать так:

$\frac{f(x)}{g(x)}$ является бесконечно малой при x → a, то есть $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0;$ то есть

для любого положительного C можно подобрать такое положительное число $\delta,$ что если мы будем отходить от a  меньше чем на $\delta,$ то эта дробь будет отстоять от  a меньше чем на C; то есть для любого C>0 существует $\delta > 0,$ такое, что если $0 < |x-a| < \delta,$ то $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < C$ (последнее неравенство можно переписать как |f(x)|<C|g(x)| ). Конечно, когда мы меняем C, $\delta$ тоже может меняться.

Говорят, что $f(x)=O(g(x))$ при $x\to a,$ если в некоторой проколотой окрестности точки a

                                      f(x)=g(x)·h(x),

где h(x) - ограниченная в этой окрестности функция (то есть для неё существует C>0 такая, что |h(x)|<C в этой окрестности); иными словами существует C>0 и существует  $\delta > 0$ такие, что если x принадлежит проколотой $\delta-$окрестности точки a (то есть $0 < |x-a| < \delta$ ), то

                                            |f(x)|<C·|g(x)|

(если g(x) не равен нулю в некоторой проколотой окрестности точки a, то последнее неравенство можно переписать в виде

                                                   $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < C$;

конечно при желании строгое неравенство можно заменить на нестрогое).

Мы видим, что определения o-малого и O-большого отличаются только тем, что в первом случае дельта можно найти для любого C (меняем C, меняется дельта), а во втором случае - дельта можно подобрать хотя бы для одного C (конечно, если мы найдем дельта для одного C, его же можно использовать и для б'ольших значений C, но если мы начнем C уменьшать, тут уже дельта может и не существовать). Естественно, поэтому

                                  если f(x)=o(g(x)), то f(x)=O(g(x)).

Переходим к решению задачи. Поскольку

 $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^5}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}x^3=0,$  то $x^5=o(x^2)$  при x→ 0, а тогда $x^5=O(x^2).$

Замечание. Если нужны конкретные C и $\delta,$ можно взять C=1 и $\delta =1:$ если $|x| < 1,$ то $\left|\frac{x^5}{x^2}\right|=|x^3| < 1.$