Розв'яжіть рівняння 25^(tg^2 x) +125 =6*5^(1/cos^2 x )
Ответы
Ответ:
1. Визначимо tg^2(x) як y.
25^y + 125 = 6 * 5^(1/cos^2(x))
2. Застосуємо заміну: tg^2(x) = y.
25^y + 125 = 6 * 5^(1/(1 - sin^2(x)))
3. Замінимо sin^2(x) як (1 - cos^2(x)).
25^y + 125 = 6 * 5^(1/(cos^2(x)))
4. Замінимо cos^2(x) як 1 - sin^2(x).
Отримаємо:
25^y + 125 = 6 * 5^(1/(1 - sin^2(x)))
5. Визначимо 5^(1/(1 - sin^2(x))) як z.
Отримаємо:
25^y + 125 = 6 * z
Тепер рівняння має вигляд:
25^y + 125 = 6z
6. Виразимо z з останнього рівняння:
z = (25^y + 125) / 6
7. Підставимо це значення z в вираз 5^(1/(1 - sin^2(x))).
5^(1/(1 - sin^2(x))) = (25^y + 125) / 6
8. Тепер ми можемо знайти значення sin^2(x) як 1 - 1/z.
sin^2(x) = 1 - 1/z
9. Підставимо замінене значення sin^2(x) у вираз tg^2(x).
tg^2(x) = y = sin^2(x) / (1 - sin^2(x))
10. Отримаємо рівняння для змінної y:
y = (1 - 1/z) / (1 - (1 - 1/z))
11. Розв'яжемо це рівняння для y.
y = (1 - 1/z) / (1 - 1 + 1/z) = (1 - 1/z) / (1/z) = z(1 - 1/z)
12. Тепер знайдемо значення z з попереднього виразу для sin^2(x):
z = (25^y + 125) / 6
13. Замінимо знайдене значення z у рівняння для y:
y = z(1 - 1/z) = (25^y + 125) / 6 * (1 - 6 / (25^y + 125))