Question

Знайти найбільше значення функції

Answer 1

Ответ:

максимум функции f(5) = 3

Пошаговое объяснение:

Находим первую производную.

Пользуемся формулами

$\displaystyle \bigg(\frac{1}{f(x) } \bigg)'=-\frac{1}{f^2(x)} *\bigg (f(x)\bigg)'\\\\\\\\\bigg(c*f(x)\bigg)'=c\bigg(f(x)\bigg)'$

$\displaystyle \bigg(\frac{21}{x^2-10x+32}\bigg)'=-21\frac{1}{( x^2-10x+32)^2} *(2x-10)=\frac{21(10-2x)}{( x^2-10x+32)^2}$

Теперь приравняем производную к нулю.

сначала посмотрим на ограничение по переменной х.

x² -10x + 32 = 0

D = b² - 4 ac = 100 - 4*32 = 100 - 128 = -28

Дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней, значит при ∀ х  (x² -10x + 32) ≠ 0. т.е. ограничений на х нет.

Дальше. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю.

10 - 2x = 0    ⇒ x₀=5  - это критическая точка.

Придется искать вторую производную.

(uv)' = u'v + uv'

$\displaystyle \bigg(21*(10-2x)*\frac{1}{x^2-10x+32)^2} \bigg)'=\\\\\\=21*(-2)*\frac{1}{(x^2-10x+32)}+21(10-2x)*2*\frac{(10-2x)}{(x^2-10x+32)^3} =\\\\\\=\frac{126x^2-1260x+2856}{(x^2-10x+32)^3}$

Теперь посмотрим  на знак производной в критической точке

$\displaystyle f''(5)=\frac{126*25-1260*5+2856}{(25-10*25+32)} = \frac{-294}{7^3} \\\\f''(5) < 0$

Значит в точке х₀=5 функция имеет максимум

Тогда

$\displaystyle f(5) = \frac{21}{5^2-50+32} =\frac{21}{7} =3$

Таким образом максимум функции

f(5) = 3