Question

Даны координаты точек А,В,С. Найти:
a) уравнение стороны АС треугольника АВС;
b) уравнение высоты ВН треугольника АВС, ее длину;
c) уравнения медиан СС1.
А(3;1) В(-4;0) С(1;-5)

Answer 1

Ответ:

Для решения этой задачи, давайте выполним следующие шаги:

a) Найдем уравнение стороны AC треугольника ABC.

b) Найдем уравнение высоты BH треугольника ABC и вычислим ее длину.

c) Найдем уравнения медианы CC1 треугольника ABC.

a) Уравнение стороны AC:

Для нахождения уравнения стороны AC, мы можем использовать формулу для вычисления уравнения прямой, проходящей через две точки. Точки A(3;1) и C(1;-5) находятся на стороне AC.

Уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), имеет вид:

y - y1 = ( (y2 - y1) / (x2 - x1) ) * (x - x1)

Подставим координаты точек A и C:

y - 1 = ( (-5 - 1) / (1 - 3) ) * (x - 3)

Упростим:

y - 1 = ( -6 / -2 ) * (x - 3)

y - 1 = 3 * (x - 3)

Теперь у нас есть уравнение стороны AC:

y = 3x - 8

b) Уравнение высоты BH и ее длина:

Высота BH проведена из вершины B перпендикулярно стороне AC. Поскольку мы уже нашли уравнение стороны AC (y = 3x - 8), то уравнение высоты будет перпендикулярным и иметь вид:

y = (-1/3)x + b

Теперь найдем точку пересечения стороны AC и высоты BH. Для этого решим систему уравнений:

1. y = 3x - 8 (уравнение стороны AC)

2. y = (-1/3)x + b (уравнение высоты BH)

Из равенства левых частей уравнений получаем:

3x - 8 = (-1/3)x + b

Упростим и решим относительно b:

3x + (1/3)x = 8 + b

(10/3)x = 8 + b

Теперь найдем координаты точки H, которая является пересечением стороны AC и высоты BH:

x = (3/10) * (8 + b)

Поскольку H лежит на стороне AC, подставим x в уравнение стороны AC (y = 3x - 8):

y = 3 * [(3/10) * (8 + b)] - 8

Упростим это уравнение и найдем b:

y = (9/10)(8 + b) - 8

y = (9/10)(8 + b) - (80/10)

y = (9/10)(8 + b - 8)

y = (9/10)b

Теперь у нас есть уравнение высоты BH:

y = (9/10)b

Чтобы найти длину высоты, нужно найти расстояние между точкой B и точкой H. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:

Длина = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Координаты точек B и H:

B(-4;0)

H(x, y) - ранее найденные

Длина BH = √((-4 - x)^2 + (0 - y)^2)

Длина BH = √((-4 - x)^2 + (-y)^2)

Теперь мы можем подставить координаты точки H и решить это уравнение для нахождения длины высоты BH.

c) Уравнения медианы CC1:

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Точка C1 - середина стороны AB.

Для нахождения уравнения медианы CC1, мы сначала найдем координаты C1. Для этого найдем среднее арифметическое координат точек A и B:

C1(x, y) = [(x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2]

Теперь мы можем построить уравнение прямой, проходящей через точку C и C1. Угловой коэффициент этой прямой можно найти, используя координаты C и C1:

Угловой коэффициент = (y_C - y_C1) / (x_C - x_C1)

Подставляем координаты C(1;-5) и C1(x, y):

Угловой коэффициент = (-5 - y) / (1 - x)

Теперь мы имеем уравнение прямой, проходящей через C и C1:

y = (-5 - y) / (1 - x) * (x - 1)

Решим это уравнение относительно y:

y = (-5 - y) * (x - 1)

y = -5 - yx + y

Подставим yx в левую сторону:

yx + y = -5

Формула для медианы CC1:

yx + y = -5

Таким образом, у нас есть уравнение медианы CC1.