Question

Доведіть, що чотирикутник АBCD - паралелограм , якщо А(-2; -1) B(0;2) C(5;2), D(3;-1)​

Answer 1

Ответ:

Для того щоб довести, що чотирикутник ABCD - паралелограм, потрібно переконатися, що протилежні сторони паралельні і мають однакову довжину.

Для цього перевіримо вектори, утворені сторонами чотирикутника.

Вектор AB можна обчислити, віднявши координати точки A від координати точки B:

AB = (0 - (-2), 2 - (-1)) = (2, 3)

Вектор BC:

BC = (5 - 0, 2 - 2) = (5, 0)

Вектор CD:

CD = (3 - 5, -1 - 2) = (-2, -3)

Вектор DA:

DA = (-2 - 3, -1 - 2) = (-5, -3)

Тепер ми можемо перевірити, чи є протилежні сторони паралельними. Для цього досить переконатися, що вектори AB і CD паралельні та мають однакову довжину, і вектори BC і DA також паралельні та мають однакову довжину.

AB і CD паралельні, оскільки вони мають однакові напрямки (вектор (2, 3)).

BC і DA паралельні, оскільки вони мають однакові напрямки (вектор (-5, -3)).

Також варто переконатися, що сторони мають однакову довжину:

Довжина AB = √((2^2) + (3^2)) = √(4 + 9) = √13

Довжина CD = √((-2^2) + (-3^2)) = √(4 + 9) = √13

Довжина BC = √((5^2) + (0^2)) = √(25) = 5

Довжина DA = √((-5^2) + (-3^2)) = √(25 + 9) = √34

Отже, протилежні сторони AB і CD мають однакову довжину √13, і протилежні сторони BC і DA мають однакову довжину √34.

Отже, ми довели, що чотирикутник ABCD - паралелограм, оскільки його протилежні сторони паралельні та мають однакову довжину.