Вимiри прямокутного паралелепіпеда ABCDA B C D, дорiвнюють AB = 6 см, ВС= 3 см і AA, = 4√5 см. Обчисліть площу діагонального перерізу паралелепіпеда. A B₁ D D C₁ C
Ответы
Для обчислення площі діагонального перерізу паралелепіпеда, нам спершу потрібно знайти довжини його діагоналей. Припустимо, що ABCD - це паралелепіпед зі сторонами AB, BC і AD, і діагоналі AC і BD.
Ми маємо наступні дані:
AB = 6 см
BC = 3 см
AA₁ = 4√5 см
Для обчислення діагоналей, спершу знайдемо довжину AC (діагоналі паралелепіпеда):
AC = √(AB² + BC²)
AC = √(6² + 3²)
AC = √(36 + 9)
AC = √45
AC = 3√5 см
Тепер ми знаємо довжину однієї з діагоналей - AC.
Далі ми можемо використати властивості паралелепіпеда. Діагоналі паралелепіпеда ділять його об'єм на 3 рівні частини. Тобто, якщо ABCD - це одна частина паралелепіпеда, то AC - діагональ, яка ділить його на 3 рівні частини.
Знаючи довжину AC (3√5 см) і одну зі сторін паралелепіпеда (AA₁ = 4√5 см), ми можемо визначити довжину іншої сторони паралелепіпеда, що перпендикулярна до діагоналі. Оскільки діагональ ділить об'єм на 3 рівні частини, то одна з цих частин складає 1/3 об'єму паралелепіпеда. Отже, довжина іншої сторони паралелепіпеда (BD) дорівнює:
BD = (1/3) * AA₁
BD = (1/3) * 4√5 см
BD = 4/3 * √5 см
Тепер, маючи довжини сторін AB, BC і BD, ми можемо обчислити площу діагонального перерізу ABCD за допомогою формули площі прямокутника:
Площа ABCD = AB * BC + BC * BD + AB * BD
Площа ABCD = 6 см * 3 см + 3 см * (4/3 * √5 см) + 6 см * (4/3 * √5 см)
Площа ABCD = 18 см² + 4√5 см * 3 см + 8√5 см * 3 см
Площа ABCD = 18 см² + 12√5 см² + 24√5 см²
Площа ABCD = 18 см² + 36√5 см² + 24√5 см²
Площа ABCD = 18 см² + 60√5 см²
Отже, площа діагонального перерізу паралелепіпеда ABCD дорівнює 18 см² + 60√5 см².
Площа діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда може бути обчислена за допомогою формули для площі прямокутника, так як діагональний переріз є прямокутником.
Діагональ діагонального перерізу паралелепіпеда може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора для правокутного трикутника, де одна сторона дорівнює довжині AB (6 см), інша - BC (3 см), і гіпотенуза - це діагональ діагонального перерізу (позначимо її як D):
D² = AB² + BC²
D² = 6² + 3²
D² = 36 + 9
D² = 45
D = √45 = 3√5 см.
Тепер, щоб знайти площу діагонального перерізу, ми використовуємо формулу для площі прямокутника:
Площа = довжина * ширина
Площа = AB * BC = 6 см * 3 см = 18 см².
Отже, площа діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда дорівнює 18 квадратним сантиметрам.