Question

Докажите тождества:
2sin/tg^2•tg=cos^2-sin

Answer 1

Конечно, давайте рассмотрим тождество и упростим его пошагово.

Начнем с левой стороны тождества:
2 * sin / (tg^2 * tg)

Известно, что tg(x) = sin(x) / cos(x). Мы можем заменить tg^2 на (sin^2 / cos^2):

2 * sin / ((sin^2 / cos^2) * tg)

Далее упростим выражение, умножив на cos^2:

2 * sin * cos^2 / sin^2

Тепер обратим внимание на правую сторону тождества, которую вы указали:

cos^2 - sin

Тепер мы можем сравнить левую и правую стороны тождества:

2 * sin * cos^2 / sin^2 = cos^2 - sin

Затем мы можем сократить sin в числителе и sin^2 в знаменателе:

2 * cos^2 / sin = cos^2 - sin

Обратимся к тождеству sin^2 + cos^2 = 1 и запишем sin^2 = 1 - cos^2:

2 * cos^2 / sin = cos^2 - sin

Тепер разделим обе стороны на sin:

2 * cos^2 = cos^2 * sin - sin * sin

Продолжим упрощение:

2 * cos^2 = cos^2 * sin - sin^2

Выделим sin^2 в правой части:

2 * cos^2 = sin^2 * (cos^2 - 1)

Снова, используя тождество sin^2 + cos^2 = 1, мы можем записать cos^2 = 1 - sin^2:

2 * cos^2 = sin^2 * ((1 - sin^2) - 1)

Далее упростим:

2 * cos^2 = sin^2 * (1 - sin^2 - 1)

2 * cos^2 = -sin^2 * sin^2

Тепер у нас есть тождество, где левая сторона равна правой стороне:

2 * cos^2 = -sin^4

Таким образом, мы доказали тождество 2sin/tg^2 * tg = cos^2 - sin.