Question

Розв’язати в цілих числах рівняння 4x 2 – у 2 = 4.

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання рівняння 4x^2 - y^2 = 4 в цілих числах, спростимо його, використовуючи різницю квадратів:

4x^2 - y^2 = 4

Застосуємо формулу різниці квадратів: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Отже, ми отримуємо:

(2x + y)(2x - y) = 4

Тепер ми можемо поділити обидві сторони на 4, щоб спростити рівняння:

(2x + y)(2x - y) = 4

(2x + y)(2x - y) = 4/4

(2x + y)(2x - y) = 1

Тепер нам потрібно знайти такі цілі числа x та y, щоб їх добуток був рівним 1. Це можливо лише у випадку, коли (2x + y) = 1 і (2x - y) = 1, або коли (2x + y) = -1 і (2x - y) = -1.

Розглянемо обидва варіанти:

1. Варіант 1:

2x + y = 1

2x - y = 1

Розв'яжемо перше рівняння:

2x + y = 1

2x = 1 - y

x = (1 - y)/2

Тепер підставимо значення x у друге рівняння:

2x - y = 1

2((1 - y)/2) - y = 1

1 - y - y = 1

-2y = 0

y = 0

Тепер ми знайшли значення x і y:

x = 1/2

y = 0

2. Варіант 2:

2x + y = -1

2x - y = -1

Розв'яжемо перше рівняння:

2x + y = -1

2x = -1 - y

x = (-1 - y)/2

Тепер підставимо значення x у друге рівняння:

2x - y = -1

2((-1 - y)/2) - y = -1

-1 - y - y = -1

-2y = 0

y = 0

Тепер ми знайшли значення x і y:

x = -1/2

y = 0

Отже, є два рішення в цілих числах:

1. x = 1/2, y = 0

2. x = -1/2, y = 0