Question

1. Найти угол между плоскостью в с д и прямой аб (число и уравнение)

2. Уравнение высоты УФ и ее длину (число и уравнение)

3. определить фигуру, записать в каноническом виде (уравнение, слово

Answer 1

1) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xB y - yB z - zB

xC - xB yC - yB zC - zB

xD - xB yD - yB zD – zB    = 0

Подставим данные точек B, C, D и упростим выражение:

x - (-1) y – 0      z - 1

1 - (-1) 7 - 0      3 - 1

8 - (-1) 5 - 0       8 – 1   = 0

x - (-1) y - 0        z - 1

   2            7          2

   9            5          7   = 0.

(x - (-1))(7·7-2·5)  - (y - )(2·7-2·9) + (z – 1)(2·5-7·9)  = 0.

39(x - (-1)) + 4(y – 0) + (-53)(z – 1) = 0.

39x + 4y - 53z + 92 = 0.

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:

 x - xa     =   y – ya     =   z - za

xb – xa       yb – ya         zb - za

 Подставим в формулу координаты точек А и В:

  x - 3      =   y - (-1)    =   z - 2

(-1) – 3          0 - (-1)       1 - 2

В итоге получено каноническое уравнение прямой:

x - 3     =   y + 1        =   z - 2  

-4                1                 -1

Найдем угол между прямой

(x – 3)/(-4) = (y + 1)/1 = (z – 2)/1

и плоскостью

39x + 4y - 53z + 92 = 0.

Направляющий вектор прямой имеет вид:

s = -4; 1; 1

Вектор нормали плоскости имеет вид:

q = 39; 4; -53

Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:

sin φ = |cos ψ| = | s · q |/| s |·| q | =

= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²) =

= | 39 · (-4) + 4 · 1 + (-53) · 1 |/√(39² + 4² + (-53)²) ·√((-4)² + 1² + 1²) =

= | -156 + 4 - 53 |/√(1521 + 16 + 2809) · √(16 + 1 + 1) =

= 205/(√4346 · √18) = 205/√78228 =

= (5/318)·√2173 ≈ 0,7329473.

φ =arcsin 0,7329473 =  47,13405°.