З вертикальної кручі ріки висотою h кинули горизонтально камінь. Початкова швидкість каменя v0, він перебуває у польоті упродовж часу t і падає на відстань L від підніжжя кручі. Обчисліть значення величин, позначених *. Прискорення вільного падіння дорівнює 10 м/c2. У скільки разів зміниться дальність L польоту каменя в горизонтальному напрямку, якщо початкова швидкість каменя збільшиться в k разів?
Ответы
Для вирішення цієї задачі ми можемо використовувати рівняння руху в горизонтальному та вертикальному напрямках окремо.
Горизонтальний рух:
У горизонтальному напрямку швидкість не змінюється (закон збереження горизонтальної складової швидкості). Отже, горизонтальна швидкість (Vх) залишається незмінною на протязі всього польоту. Щоб знайти відстань L, яку проходить камінь, можна використовувати формулу:
L = Vх * t (*)
Вертикальний рух:
Вертикальний рух каменя описується рівнянням руху при вільному падінні:
h = (1/2) * g * t^2,
де h - висота кидка, g - прискорення вільного падіння, t - час польоту. З цього рівняння можна виразити час польоту t:
t = sqrt((2 * h) / g) (**)
Тепер, якщо ми вдвічі збільшимо початкову швидкість (k = 2), то нова горизонтальна швидкість буде 2 * V₀.
Зараз порівняємо новий польот (коли початкова швидкість збільшилася вдвічі) з попереднім польотом (коли k = 1):
L' = (2 * V₀) * t',
де L' - нова відстань, V₀ - початкова швидкість після збільшення, t' - новий час польоту. Враховуючи (**), ми можемо записати:
L' = (2 * V₀) * sqrt((2 * h) / g)
Тепер, давайте поділимо цю нову відстань L' на попередню відстань L (за формулою (*)). Це допоможе нам знайти, в скільки разів зміниться дальність польоту:
L' / L = [(2 * V₀) * sqrt((2 * h) / g)] / (V₀ * t),
L' / L = 2 * sqrt((2 * h) / g) / t.
Зараз можна підставити значення t з (**):
L' / L = 2 * sqrt((2 * h) / g) / [sqrt((2 * h) / g)].
L' / L = 2.
Отже, дальність польоту каменя в горизонтальному напрямку збільшиться вдвічі, якщо початкова швидкість збільшиться вдвічі (k = 2).