Question

3.2. Дослідіть СЛАР, задану розширеною матрицею, на сумісність і в разі сумісності знайдіть її загальний розв’язок.
{1 2 3 |14|}

{3 2 1 |10}|

{1 1 1 |6|}

{1 1 0 |3|}

Answer 1

Почнемо з розширеної матриці:

[1 2 3 | 14]
[3 2 1 | 10]
[1 1 1 | 6]
[1 1 0 | 3]

Спростимо цю матрицю методом Гаусса:

1. Першим кроком віднімемо 3-кратне перше рівняння від другого:

[1 2 3 | 14]
[0 -4 -8 | -32]
[1 1 1 | 6]
[1 1 0 | 3]

2. Далі віднімемо перше рівняння від третього:

[1 2 3 | 14]
[0 -4 -8 | -32]
[0 -1 -2 | -8]
[1 1 0 | 3]

3. І, нарешті, віднімемо перше рівняння від четвертого:

[1 2 3 | 14]
[0 -4 -8 | -32]
[0 -1 -2 | -8]
[0 -1 -3 | -11]

Тепер ми маємо рядкову ешелонову форму. Подивимося на останній рядок цієї матриці. Оскільки він має нульовий стовпець зліва від розділювача, система має нескінченну кількість розв’язків.

Отже, система СЛАР є сумісною, і має безліч розв’язків.

Щоб знайти загальний розв’язок, введемо параметри. Перепишемо останній рядок у вигляді рівняння:

-1x - 3y = -11

Розв’яжемо це рівняння для y:

y = 3x + 11

Тепер введемо параметр t для x:

x = t

Отже, загальний розв’язок буде виглядати так:

x = t
y = 3t + 11
z = ???
w = ???

Зараз у нас є два вільні параметри z і w, і ми не маємо інформації про них з вихідної системи. Таким чином, загальний розв’язок для цієї системи СЛАР містить два вільних параметри z і w, а решта змінних (x і y) виражені через них.