Question

Докажите, что один из корней каждого уравнения ах^2-(а+с)х+с=0 и ах^2+bх-(a-b)=0 равен 1

Answer 1

$ax^2-(a+c)x+c=0;\ D=(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2;\ x_1=frac{-(-(a+c))-(a-c)}{2a}=frac{a+c-a+c}{2a}=frac{2c}{2a}=frac{c}{a};\ x_2=frac{-(-(a+c))+(a-c)}{2a}=frac{a+c+a-c}{2a}=frac{2a}{2a}=1;\ (x-1)(x-frac{c}{a})=x^2-frac{c}{a}x-x+frac{c}{a}=frac{1}{a}(ax^2-ax-cx+c)=\ =frac{1}{a}(ax^2-(a+c)x+a)$
x=1 корень даного уравнения


$ax^2+bx-(a-b)=0;\ D=b^2+4a(a-b)=b^2+4a^2-4ab=(2a-b)^2;\ x_1=frac{-b-(2a-b)}{2a}=frac{-b-2a+b}{2a}=frac{-2a}{2a}=-1;\ x_2=frac{-b+(2a-b)}{2a}=frac{2a-2b}{2a}=1-frac{b}{a}=frac{a-b}{a};$
во втором уравнении один из корней равен -1, если там ошибка в задании, если вместо b поставить -b, тогда х=1 будет корнем