Question

(x² - 4) (x² - 1) x²+x-2 2 dx;​

Answer 1

Для решения интеграла (x² - 4)(x² - 1)(x² + x - 2)² dx, нам потребуется раскрывать скобки и затем интегрировать каждый член по отдельности. Давайте выполним шаги:

1. Раскроем скобки (x² - 4)(x² - 1)(x² + x - 2)²:
(x⁶ - 5x⁴ + 6x² - 4)(x² + x - 2)²

2. Теперь умножим каждый член этого выражения на x²+x-2 и упростим:
(x⁸ - 5x⁶ + 6x⁴ - 4x²)(x² + x - 2)

3. Разложим этот многочлен на простейшие дроби (Partial Fraction Decomposition). Получим:

A / (x - 2) + B / x + C / (x + 1) + D / (x - 1) + Ex + F / (x² + x - 2)

4. Теперь выполним частное интегрирование каждого слагаемого. Интеграл от (x - 2) даст логарифмическую функцию, а интеграл от x, x², x³ и т. д. даст степенные функции.

5. Итоговый ответ будет иметь вид:

A * ln(|x - 2|) + B * ln(|x|) + C * ln(|x + 1|) + D * ln(|x - 1|) + (Ex² + F) + константа интегрирования (C)

Здесь A, B, C, D, E, F и C - это константы, которые могут быть найдены путем решения системы уравнений на основе начальных условий (если они предоставлены) или оставлены в общем виде.