вычислите объем тела образованного при вращении вокруг оси оу фигуры y=2x+5; x=o ; y= 2 y = 3
Ответы
Ответ:
Для вычисления объема тела, образованного при вращении графика функции вокруг оси \(Oy\), используют метод кольцевых дисков.
Объем элементарного кольца \(\Delta V\) равен:
\[ \Delta V = \pi x^2 \Delta y \]
Где \(x\) - это радиус кольца, а \(\Delta y\) - его толщина. Для нашей функции радиус кольца равен \(x = \frac{y-5}{2}\).
Для нахождения объема всего тела нам нужно проинтегрировать эту функцию от \(y = 2\) до \(y = 3\):
\[ V = \pi \int_{2}^{3} (\frac{y-5}{2})^2 dy \]
Вычислим данный интеграл:
\[ V = \pi \int_{2}^{3} (\frac{y^2}{4} - \frac{5y}{2} + \frac{25}{4}) dy \]
\[ V = \pi [\frac{y^3}{12} - \frac{5y^2}{4} + \frac{25y}{4}]_{2}^{3} \]
\[ V = \pi [\frac{27}{12} - \frac{45}{4} + \frac{75}{4} - (\frac{8}{12} - 5 + 50/4)] \]
\[ V = \pi [\frac{19}{12} - \frac{20}{4}] \]
\[ V = \pi [-\frac{5}{12}] \]
Но объем не может быть отрицательным, это значение является модулем разности объемов, поэтому:
\[ V = \pi \frac{5}{12} \]
Теперь умножим это на высоту \(y = 3 - 2 = 1\):
\[ V = \pi \frac{5}{12} \times 1 = \frac{5\pi}{12} \]
Таким образом, объем тела равен \( \frac{5\pi}{12} \) кубических единиц.