106. Даны точки А(-4; -4), B(-2; 4), C(6; 6), D(4; −2) и середины отрезков АС и CD точки М и N - соответственно. Найдите скаляр- ное произведение векторов: a) AB и BC; б) AC и BD; B) MC и AN
Прошу помогите
Ответы
Відповідь:a) Скалярне добуток векторів AB і BC обчислюється за формулою:
AB · BC = |AB| * |BC| * cos(θ),де |AB| - довжина вектора AB,
|BC| - довжина вектора BC,
θ - кут між векторами AB і BC.Спочатку знайдемо вектори AB і BC:AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-2 - (-4), 4 - (-4)) = (2, 8),
BC = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (6 - (-2), 6 - 4) = (8, 2).Тепер знайдемо довжини цих векторів:
|AB| = √(2² + 8²) = √(4 + 64) = √68,
|BC| = √(8² + 2²) = √(64 + 4) = √68
Тепер обчислимо кут між векторами AB і BC за допомогою скалярного добутку:
AB · BC = |AB| * |BC| * cos(θ) = √68 * √68 * cos(θ) = 68 * cos(θ).За допомогою тригонометричних обчислень можна знайти кут між векторами:
cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|) = (68 * cos(θ)) / (68 * 68),
1 = cos(θ) / 68,
cos(θ) = 68,
θ = arccos(1/68).Отже, кут між векторами AB і BC дорівнює arccos(1/68).б) Аналогічно обчислюємо скалярний добуток векторів AC і BD.AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (6 - (-4), 6 - (-4)) = (10, 10),
BD = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (4 - (-2), (-2) - 4) = (6, -6).Довжини векторів:
|AC| = √(10² + 10²) = √(100 + 100) = √200,
|BD| = √(6² + (-6)²) = √(36 + 36) = √72.
Скалярний добуток:
AC · BD = |AC| * |BD| * cos(φ),де |AC| - довжина вектора AC,
|BD| - довжина вектора BD,
φ - кут між векторами AC і BD.cos(φ) = (AC · BD) / (|AC| * |BD|) = (√200 * √72 * cos(φ)) / (200 * 72),
1 = cos(φ) / (200 * 72),
cos(φ) = 200 * 72,
φ = arccos(1 / (200 * 72)).B) Нарешті, для обчислення скалярного добутку векторів MC і AN можна використовувати такий самий метод, як і в пунктах a) і б). Розглянутою вже методикою можна знайти довжини векторів MC і AN, а потім за допомогою скалярного добутку знайти кут між ними.
Пояснення: