lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x
Ответы
Ответ:
Для решения данного предела, применим несколько тригонометрических тождеств и алгебраических преобразований:
lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x
Раскроем разность косинусов:
lim x → 0 (cosx - cos3x) = lim x → 0 cosx - lim x → 0 cos3x
Используем тригонометрическое тождество cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x):
lim x → 0 (cosx - cos3x) = lim x → 0 cosx - lim x → 0 (4cos³(x) - 3cos(x))
= cos(0) - (4cos³(0) - 3cos(0))
= 1 - (4 * 1 - 3 * 1)
= 1 - (4 - 3)
= 1 - 1
= 0
Теперь рассмотрим знаменатель sin²(4x):
lim x → 0 sin²(4x) = sin²(0)
= 0
Итак, мы получили предел вида 0/0, что является неопределенным выражением.
Применим правило Лопиталя (правило де-Аламбера) для нахождения предела неопределенности 0/0:
lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x = lim x → 0 (sinx - 3sin3x)/(8xcos4x)
Вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:
lim x → 0 sinx - 3sin3x = 0 - 3 * 0 = 0
lim x → 0 8xcos4x = 8 * 0 = 0
Теперь мы получили предел вида 0/0 снова. Применяем правило Лопиталя второй раз:
lim x → 0 (sinx - 3sin3x)/(8xcos4x) = lim x → 0 (cosx - 9cos3x)/(8cos4x - 32xsin4x)
Вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:
lim x → 0 cosx - 9cos3x = 1 - 9 * 1 = -8
lim x → 0 8cos4x - 32xsin4x = 8 * 1 - 32 * 0 = 8
Итак, предел равен:
lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x = -8/8 = -1
Таким образом, предел функции равен -1 при x стремящемся к 0.