sin²x + sin²2x = 1, "Решите уравнение" пж срочно решите, тема-"Тригонометрические уравнение"
Ответы
Ответ:
1. Используем тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
2. Заменим sin²2x на (2sin(x)cos(x))².
3. Теперь у нас есть уравнение sin²x + (2sin(x)cos(x))² = 1.
Давайте обозначим sin(x) как u:
u² + (2u(1 - u²))² = 1.
4. Упростим уравнение:
u² + 4u²(1 - u²)² = 1.
5. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно u²:
u⁴ - 2u² + 1 = 0.
6. Решим это квадратное уравнение. Давайте заметим, что это можно рассматривать как (u² - 1)² = 0.
7. Решение этого уравнения:
u² - 1 = 0
u² = 1
u = ±1.
8. Теперь вернемся к sin(x). Мы имеем sin(x) = ±1.
9. Решим два случая:
a) sin(x) = 1:
Это соответствует x = π/2 + 2πn, где n - целое число.
b) sin(x) = -1:
Это соответствует x = -π/2 + 2πn, где n - целое число.
Таким образом, уравнение sin²x + sin²2x = 1 имеет бесконечное множество решений:
x = π/2 + 2πn, где n - целое число,
x = π/2 + 2πn, где n - целое число,x = -π/2 + 2πn, где n - целое число.