4) На стороні ВС квадрата АВСД позначили точку К так, що АК=2BK. Знайдіть кут КАС
Ответы
Відповідь:Позначимо кут КАС як α.Ми знаємо, що АК = 2BK, тобто відношення довжини АК до довжини ВК дорівнює 2:1.Позначимо довжину ВК через x, тоді довжина АК буде 2x.Також, в квадраті всі сторони рівні між собою. Отже, довжина сторони квадрата ВС дорівнює сумі довжин ВК і КС: x + 2x = 3x.Таким чином, довжина сторони квадрата ВС дорівнює 3x.Тепер ми можемо виразити величину кута α за допомогою тригонометричних функцій. В квадратному куті протилежний кут α, тобто кут САК.За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику САК:
(СК)² = (АК)² + (АС)².(3x)² = (2x)² + (АС)².9x² = 4x² + (АС)².5x² = (АС)².АС = √(5x²).Тепер ми можемо використовувати тригонометричну відносність, оскільки ми знаємо довжини сторін прямокутного трикутника:tan(α) = (АК / АС) = (2x / √(5x²)) = (2/√5).Отже, тангенс кута α дорівнює 2/√5.Тепер знайдемо сам кут α, використовуючи арктангенс:α = arctan(2/√5).Отже, кут КАС дорівнює arctan(2/√5).
Пояснення:Отже, кут КАС дорівнює arctan(2/√5).