Question

3. Довести, що 13+23+...+93 не дiляться 10.​

Answer 1

Здравствуйте! Вот доказательство. Остались вопросы — пишите, буду рад ответить.

Доказательство:

Давайте, для начала, разберемся с числом 10. Разложим его на множители и получим: 2 * 5.

Что это дало, спросите вы ? Теперь, мы можем опираться на признаки делимости.

1) Признак делимости на 2

Мы помним, чтобы число делилось на два, оно должно быть четным. Т.е, простыми словами, оно должно кончаться на 0, 2, 4, 6, 8.

Число, вида 10n + 3, где n — целое число, не делиться на 2.

Что же будет с суммой таких чисел ? Предположим, есть число 10n + 3 и 10(n + 1) + 3, где n — целое число. Найдем, чему равна их сумма:

10n + 3 + 10(n + 1) + 3 = 20n + 26 = 2(10n + 13)

Как мы видим, сумма двух близстоящих чисел, кончающихся на 3, делиться на два. Т.е, мы можем сказать, что суммы 13 + 23, 33 + 43 и т.д, буду делиться на два. Но, чтобы данная закономерность выполнялась, их количество должно быть четным. Т.е, 13, 23, 33, 43 — 4 числа, значит их сумма будет делиться на 2. Тогда, 13, 23, 33 — 3 числа, значит их сумма не будет делиться на 2.

Из условия следует, что у нас есть последовательность, из 9 чисел, кончающихся на 3. Т.к 9 — нечётное число. То, сумма чисел данной последовательности, не будет делиться на 2.

2) Признак делимости на 5

Чтобы число делилось на пять, оно должно кончаться либо на 0, либо на 5.

Мы можем увидеть, что сумма 5 последовательно идущих чисел, заканчивающихся цифрой 3, будет кратна 5. Мы можем увидеть это, если сложим 5 любых последовательно удищих членов:

5(10n + 23)

Но, как мы выяснили, наша последовательность состоит из 9 членов. А 9 — не делиться на 5. Значит, сумма 9 чисел, кончающихся числом 3, не будет делиться на 5.

3) Исходя из приведенных выше аргументов, сумма чисел 13+23+...+83+93 — не делится на 10.

Доказано.