В треугольной пирамиде ABCD известно: AB=CD=6, AD=BC=10, ∠ABC=120∘. Найдите R2, где R — радиус наименьшего шара, в который можно поместить такую пирамиду.
Ответы
Для знаходження радіусу R наименшого сфери, в яку можна помістити таку піраміду, використовуємо формулу:
R = (a / 2) * √(h² + (a² / 4)),
де:
- a - довжина ребра піраміди (в даному випадку a = AB = CD = 6),
- h - висота піраміди.
Для знаходження висоти h можемо використовувати закон косинусів у трикутнику ABC:
cos(∠ABC) = (a² + b² - c²) / (2ab),
де a, b і c - довжини сторін трикутника ABC, а ∠ABC - кут при вершині B.
Знаючи, що AB = 6, BC = 10 і ∠ABC = 120°, можемо знайти значення cos(120°):
cos(120°) = (6² + 10² - 6*10*cos(120°)) / (2*6*10).
cos(120°) = (-124) / 120.
cos(120°) = -62 / 60.
Тепер ми можемо знайти h за допомогою цього значення:
h = a * √(1 - cos²(∠ABC)).
h = 6 * √(1 - (-62/60)²).
h ≈ 6 * √(1 - 3844/3600).
h ≈ 6 * √(1 - 1.067).
h ≈ 6 * √(0.067).
h ≈ 6 * 0.2598.
h ≈ 1.559.
Тепер, коли маємо значення h, можемо знайти радіус R:
R = (a / 2) * √(h² + (a² / 4)).
R = (6 / 2) * √((1.559)² + (6² / 4)).
R = 3 * √(2.434 + 9).
R = 3 * √(11.434).
R ≈ 3 * 3.382.
R ≈ 10.147.
Отже, радіус R наименшої сфери, в яку можна помістити таку піраміду, приблизно дорівнює 10.147.