1. Дано куб АВСДА1В1С1Д1, його вершини А, В і Д належать площині а.
а) довести, що пряма А1В1 паралельна площині а.
б) Знайти площу перерізу куба площиною, що проходить через середини його бічних ребер, якщо ребро куба 8 см.
2. Вершина С трикутника АВС не належить площині а, яка містить сторону АВ. На сторонах СА і СВ позначено точки А1 і В1 відповідно, причому АС: А1С=СВ: СВ1 =2:1.
Доведіть, що В1А1 // АВ. ДУЖЕ ТРЕБА!!!!!
Ответы
Ответ:
1.
а) Площина, що проходить через вершини А, В і Д, є паралельною площині а, оскільки всі три точки лежать на площині а. Таким чином, вектор, що сполучає вершини А і В, лежить у площині а, тому вектор, що сполучає відповідні вершини А1 і В1, також лежить у цій площині. Отже, пряма А1В1 паралельна площині а.
б) Площа перерізу куба площиною, що проходить через середини його бічних ребер, дорівнює половині площі бічної поверхні куба. Площа бічної поверхні куба дорівнює 4*(ребро куба)², тому площа перерізу дорівнює 2*(ребро куба)² = 2*8² = 128 см².
2.
За умовою, АС: А1С=СВ: СВ1 =2:1. Оскільки СВ1 і СА1 є серединними перпендикулярами до сторін СВ і СА відповідно, то СВ1 = 0,5*ВВ1 і СА1 = 0,5*АА1. Таким чином, АС: АА1 = СВ: ВВ1 = 4:1. Оскільки АВ // А1В1, то за теоремою про пересічні прямі, АС/СВ = А1С/В1С. Замінюючи відповідні значення, отримуємо 4/1 = А1С/В1С, тобто А1С = 4*В1С. Оскільки СВ // А1С, то за теоремою про паралельні прямі, СВ1 // А1С. Оскільки СВ1 і А1С є серединними перпендикулярами до сторін СВ і А1С відповідно, то СВ1 = 0,5*А1С. Таким чином, 0,5*А1С = 0,5*ВВ1, або А1С = ВВ1. Отже, В1А1 // АВ за теоремою про паралельні прямі.
Пошаговое объяснение: