Question

Сколько различных "слов" можно получить переставляя буквы в слове "Гадалка"?​

Answer 1

Ответ:

840 "слов"

Пошаговое объяснение:

В слове "гадалка" 7 букв, поэтому переставить их мы можем $7!$ способами. Но заметим, что среди этих букв есть 3 одинаковые (буквы "а"). Это означает, что перестановка этих букв между собой фактически не изменит слово. Переставлять буквы "а" между собой мы можем $3!$ способами, а значит фактическое число перестановок из 7 исходных букв будет в $3!$ раз меньше.

$N=\dfrac{7!}{3!} =\dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!} =7\cdot6\cdot5\cdot4=840$

Иначе говоря, в задаче рассматривалась такая конфигурация как перестановки с повторениями. Всего имелось 7 элементов, 3 из которых были неразличимыми.

$N=P_7^3=\dfrac{7!}{3!} =840$

Элементы теории:

Перестановки с повторениями - конфигурация, позволяющая определить число перестановок из элементов, среди которых есть одна или несколько групп повторяющихся.

Пусть имеется $n$ элементов, среди которых есть группы из $n_1$, $n_2$, ..., $n_k$ неразличимых элементов, причем $n_1+n_2+\ldots+n_k\leqslant n$. Тогда, число перестановок таких элементов равно:

$P_n^{n_1,n_2,\ldots,n_k}=\dfrac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot\ldots\cdot n_k!}$