Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит сторону BC на отрезки длиной 2 и 3 в точке касания. Найдите площадь треугольника, если угол ВАС=60.
Ответы
Відповідь:
Окружність, вписана в треугольник ABC, розділяє сторону BC на два відрізки довжиною 2 і 3 в точці касання. Позначимо ці точки касання як D і E, де BD = 2 і CE = 3. Для розв'язання цієї задачі нам потрібно знайти площу треугольника ABC, знаючи, що кут ВАС = 60 градусів.
Спочатку розглянемо трикутник ABD. Оскільки AD є радіусом вписаної окружності і перпендикуляром до сторони AB, то ми можемо сказати, що AD = 2 (половина довжини сторони BC, яка ділиться в точці касання). Також, оскільки кут BAD є внутрішнім кутом, то він дорівнює половині відповідного центрального кута вписаної окружності, а отже, кут BAD = 60/2 = 30 градусів.
Тепер ми знаємо довжину сторони AB і кут між ними, тож ми можемо знайти площу трикутника ABD:
Площа ABD = (1/2) * AD * AB * sin(BAD)
Площа ABD = (1/2) * 2 * AB * sin(30 градусів)
Площа ABD = AB^2 * sin(30 градусів)
Тепер ми повинні знайти значення sin(30 градусів). sin(30 градусів) дорівнює 1/2.
Площа ABD = AB^2 * (1/2) = (1/2) * AB^2
Аналогічно, ми можемо розглянути трикутник ACE. Оскільки CE = 3 і кут CAE = 60/2 = 30 градусів, то площа трикутника ACE буде:
Площа ACE = (1/2) * AE * AC * sin(CAE)
Площа ACE = (1/2) * 3 * AC * sin(30 градусів)
Площа ACE = 3/2 * AC^2 * sin(30 градусів)
Площа ACE = 3/2 * AC^2 * (1/2) = (3/4) * AC^2
Зараз ми можемо знайти площу всього трикутника ABC, додавши площі трикутників ABD і ACE:
Площа ABC = Площа ABD + Площа ACE
Площа ABC = (1/2) * AB^2 + (3/4) * AC^2
Тепер ми можемо використовувати факт, що відомий кут ВАС = 60 градусів, та використовувати формулу для площі трикутника, яка включає синус кута:
Площа ABC = (1/2) * AB * AC * sin(60 градусів)
Знаючи, що AB = AD + BD = 2 + 3 = 5 (оскільки AD = 2 і BD = 3), і використовуючи sin(60 градусів) = √3/2, ми можемо обчислити площу:
Площа ABC = (1/2) * 5 * AC * (√3/2)
Тепер ми можемо підставити значення AC (яке можна знайти за допомогою теореми Піфагора, оскільки AC є гіпотенузою прямокутного трикутника ADE) і обчислити площу ABC. Нехай x буде довжиною AC:
x^2 = AD^2 + CD^2
x^2 = 2^2 + 3^2
x^2 = 4 + 9
x^2 = 13
x = √13
Площа ABC = (1/2) * 5 * √13 * (√3/2)
Площа ABC = (5/2) * √39
Отже, площа треугольника ABC дорівнює (5/2) * √39 квадратних одиниць.