СРОЧНО, ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ!!!!!
Доведіть нерiвнiсть a² + b² + 2 ≥ 2(a+b).
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Для доведення даної нерівності a² + b² + 2 ≥ 2(a + b), давайте розглянемо обидві сторони нерівності:
Ліва сторона: a² + b² + 2
Права сторона: 2(a + b)
Тепер давайте розглянемо кожну сторону окремо:
Ліва сторона: a² + b² + 2 можна переписати як (a + b)², оскільки a² + b² - це квадрат суми a і b, і додавання 2 не змінює цього факту. Тобто:
a² + b² + 2 = (a + b)²
Права сторона: 2(a + b) - це просто подвоєна сума a і b.
Отже, ми маємо наступну рівність:
(a + b)² ≥ 2(a + b)
Тепер давайте спростимо її:
a² + 2ab + b² ≥ 2a + 2b
Тепер віднімемо 2a і 2b від обох сторін нерівності:
a² + 2ab + b² - 2a - 2b ≥ 0
Тепер ми можемо спростити це далі:
(a² - 2a + 1) + 2ab + (b² - 2b + 1) ≥ 0
(a - 1)² + 2ab + (b - 1)² ≥ 0
Квадрати будь-яких чисел завжди більше або дорівнюють нулю, отже:
(a - 1)² ≥ 0
(b - 1)² ≥ 0
Таким чином, (a - 1)² і (b - 1)² завжди не менше нуля. Додавання нуля до будь-якого числа не впливає на його величину. Отже, нерівність:
(a - 1)² + 2ab + (b - 1)² ≥ 0
завжди виконується для будь-яких a і b.
Таким чином, ми довели задану нерівність a² + b² + 2 ≥ 2(a + b).