Во время Второй мировой вой ны для обнаружения в ночном небе немецких бомбардировщиков силами советской противовоздушной обороны использовались зенитные прожекторы с диаметром 1,5 м. Луч такого прожектора доставал цель на расстоянии до 7 км и мог сопровождать её в небе для того, чтобы по ней могли вести огонь зенитные орудия. Прожектор поймал немецкий самолёт под углом 45° к горизонту на пределе своей видимости и сопровождал его на постоянной высоте его до угла 60°, пока тот не был подбит зениткой. а) На каком расстоянии от прожектора находился B этот момент самолёт? 6) На какой высоте он летел? в) Какое время следил за ним прожектор, если средняя скорость бомбардировщика равнялась 300 км/ч? ( рис.)
Ответы
Ответ:а) 5.72 км б) 4.95 км в) 1 мин 34 с
Пошаговое объяснение:
Перенесём рисунок на геометрическую плоскость. В условии сказано, что "прожектор поймал немецкий самолёт на пределе своей видимости", предел видимости по условию 7 км, отсюда AB = 7 км (см рисунок)
Ещё одним условием было то, что прожектор "сопровождал его на постоянной высоте", получается, что высоты BM и CK, равны. Поскольку BM и CK ⊥ m, то BM∥CK ⇒ MBCK - параллелограмм по IV признаку
⇒ BC∥m по определению параллелограмма ⇒ ∠MAB = ∠ABC = 45° как накрест лежащие при пересечении параллельных m и BC секущей AB. Так же доказываем, что ∠ACB = ∠KAC = 60°.
В △ABC: по т. синусов sin 60°/7 = sin 45°/AC; AC = 7sin45°/sin60° = (7√6)/3 ≈ 5,72(км.) Итак, мы ответили на первый вопрос.
Чтобы ответить на второй вопрос, достаточно найти BM:
BM = AB * sin 45° = (7√2)/2 ≈ 4,95(км)
Для нахождения времени слежки воспользуемся формулой t = S/v, где S - сторона BC, а v = 300км/ч по условию. Для удобства переведём км/ч в км/мин: 300 км/ч = 5 км/мин.
По т. синусов: sin 60°/7 = sin∠BAC/BC. ∠BAC = 180° - 60° - 45° = 75° ⇒
BC = 7sin 75°/sin 60° = 7 sin(30°+45°)/(√3/2) = 14(sin 30° * cos 45° + cos 30° * sin 45°)/√3 = 14 * (√2 + √6)/4√3 = 7(√6 + 3√2)/6 ≈ 7,81 (км)
t = S/v = 7,81/5 = 1,562 мин ≈ 1 мин 34 с.
