Question

90.а)докажите,что диагонали трапеции в точке пересечения не делятся пополам
б) докажите,что четырехугольник, вершинам которого являются середины стороны равнобедренной трапеции, параллелограмм​

Answer 1

Ответ:

а) Для доказательства, что диагонали трапеции в точке их пересечения не делятся пополам, давайте рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, у нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD - основания трапеции, а AD и BC - боковые стороны. Пусть M - точка пересечения диагоналей AC и BD.

1. Диагонали AC и BD имеют одну общую точку M.

2. Давайте предположим, что диагонали делятся пополам. Это означает, что AM = MC и BM = MD.

3. Рассмотрим треугольники AMC и BMD. У нас есть AM = MC и BM = MD (по предположению), и угол AMC = угол BMD, так как они образуют вертикальные углы между параллельными прямыми AC и BD.

4. Из этих данных следует, что треугольники AMC и BMD равны по стороне-угол-стороне (SAS).

5. Однако это противоречит тому, что трапеция ABCD является равнобедренной, ибо равнобедренная трапеция имеет равные углы при основаниях и одинаковые длины диагоналей.

Таким образом, предположение о том, что диагонали делятся пополам, неверно, и мы доказали, что диагонали трапеции в точке пересечения не делятся пополам.

б) Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AB и CD и диагоналями AC и BD. Пусть E, F, G и H - середины сторон AD, AB, BC и CD соответственно.

1. Поскольку E - середина стороны AD, то AE = ED.

2. Аналогично, поскольку F - середина стороны AB, то AF = FB.

3. Поскольку G - середина стороны BC, то BG = GC.

4. Наконец, поскольку H - середина стороны CD, то CH = HD.

Теперь рассмотрим четырехугольник EFGH:

- Есть пара сторон с равными длинами: EF = FB (по пункту 2) и GH = GC (по пункту 3).

- Есть пара сторон с равными длинами: EH = HD (по пункту 4) и FG = GA (по пункту 1).

- Теперь давайте рассмотрим углы. У нас есть угол FEG, который равен углу BAD, так как они соответственные углы при параллельных прямых.

- Аналогично, угол HGF равен углу DCB.

Таким образом, у нас есть четырехугольник EFGH, у которого:

- Пара сторон с равными длинами.

- Пара сторон с равными длинами.

- Пара углов с равными мерами.

Эти условия означают, что EFGH - параллелограмм.