Question

Вычислить предел функции, используя 2-й замечательный предел. Задание на картинке.

Answer 1

Ответ:

Второй замечательный предел :   $\bf \lim\limits_{x \to \infty}\, \Big(1+\dfrac{1}{x}\Big)^{x}=\Big[\ 1^{\infty }\ \Big]=e$   .

$\bf \lim\limits _{x \to \infty}\Big(\dfrac{x^2+1}{x^2-3}\Big)^{x^3-5}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big(\dfrac{x^2-3+3+1}{x^2-3}\Big)^{x^3-5}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big(1+\dfrac{4}{x^2-3}\Big)^{x^3-5}=$

$\bf =\lim\limits _{x \to \infty}\left(\Big(1+\dfrac{4}{x^2-3}\Big)^{\frac{x^2-3}{4}}\right)^{\frac{4}{x^2-3}\cdot (x^3-5)}=e^{\lim\limits _{x \to \infty}\frac{4x^3-5}{x^2-3}}=\Big[\ e^{\infty }\ \Big]=\\\\\\=\left\{\begin{array}{l}\bf +\infty\ ,\ \ x\to +\infty \ ,\\\bf 0\ ,\ \ x\to -\infty \ .\end{array}\right$