Question

Розпишіть розв'зок нерівності 4^x-6*2^(x-1)≥4

Answer 1

Відповідь:

)))))

Пояснення:

Для розв'язку нерівності 4^x - 6 * 2^(x-1) ≥ 4, спочатку спростимо вираз:

4^x - 6 * 2^(x-1) ≥ 4

Розкриємо степінь 4:

(2^2)^x - 6 * 2^(x-1) ≥ 4

Застосуємо властивість степеня з піднесенням степеня до степеня:

2^(2x) - 6 * 2^(x-1) ≥ 4

Тепер розкриємо дужки в другому доданку:

2^(2x) - 6 * 2^x / 2^1 ≥ 4

Скоротимо 2^1 у знаменнику:

2^(2x) - 6 * 2^x / 2 ≥ 4

Знайдемо спільний знаменник і скоротимо дроби:

2^(2x) - 3 * 2^x ≥ 8

Тепер перепишемо 8 як 2^3:

2^(2x) - 3 * 2^x ≥ 2^3

Використовуючи властивості степенів, зведемо до одного основи:

2^(2x) - 2^3 * 2^x ≥ 2^3

Застосуємо властивість додавання степенів з однаковими основами:

2^(2x) - 2^(x+3) ≥ 2^3

Тепер ми отримали рівність з однаковими основами. Зробимо заміну: позначимо 2^x як y. Отримаємо:

y^2 - 2^3 * y ≥ 2^3

y^2 - 8y ≥ 8

Тепер приведемо нерівність до квадратного виду:

y^2 - 8y - 8 ≥ 0

Ми отримали квадратну нерівність, яку можна розв'язати шляхом факторизації, застосування квадратного кореня або методу знаків.

Отримане рівняння має два корені:

y1 = 4 + 2√6

y2 = 4 - 2√6

Тепер повертаємося до заміни, щоб знайти значення x:

2^x = 4 + 2√6

Застосуємо логарифм до обох сторін:

x * log2 = log(4 + 2√6)

x = log(4 + 2√6) / log2

Аналогічно, для другого кореня:

2^x = 4 - 2√6

x * log2 = log(4 - 2√6)

x = log(4 - 2√6) / log2

Отже, розв'язком нерівності 4^x - 6 * 2^(x-1) ≥ 4 є:

x ≤ log(4 + 2√6) / log2 або x ≥ log(4 - 2√6) / log2