Question

Даю 100 баллов

Докажите, что данный
четырехугольник с вершинами - это прямоугольник.
1) D (3; -3), E (1; 5), F (5; 6), G (7; -2)
2) К (-6; 5), Л (-4; 0), М (6; 4), Н (4; 9)

Answer 1

Відповідь:

Доказано!

Покрокове пояснення:

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны равны и диагонали равны между собой. Значит, необходимо доказать, что:

1) DE = FG, EF = DG

DF = EG

2) KL = MH, LM = KH

KM = LH

1) D (3; -3), E (1; 5), F (5; 6), G (7; -2)

$DE = \sqrt{(1 - 3)^{2} + (5 - (-3))^{2}} = \sqrt{(-2)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$

$EF = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 5)^{2}} = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$FG = \sqrt{(7 - 5)^{2} + (-2 - 6)^{2}} = \sqrt{2^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$

$DG = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (-2 - (-3))^{2}} = \sqrt{4^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$DF = \sqrt{(5 - 3)^{2} + (6 - (-3))^{2}} = \sqrt{2^{2} + 9^{2}} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$

$EG = \sqrt{(7 - 1)^{2} + (-2 - 5)^{2}} = \sqrt{6^{2} + 7^{2}} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$

DE = FG, EF = DG, DF = EG, значит четырехугольник DEFG - прямоугольник

2) К (-6; 5), L (-4; 0), М (6; 4), Н (4; 9)

$KL = \sqrt{(-4 - (-6))^{2} + (0 - 5)^{2}} = \sqrt{2^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

$LM = \sqrt{(6 - (-4))^{2} + (4 - 0)^{2}} = \sqrt{10^{2} + 4^{2}} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116}$

$MH = \sqrt{(4 - 6)^{2} + (9 - 4)^{2}} = \sqrt{(-2)^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

$KH = \sqrt{(4 - (-6))^{2} + (9 - 5)^{2}} = \sqrt{10^{2} + 4^{2}} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116}$

$KM = \sqrt{(6 - (-6))^{2} + (4 - 5)^{2}} = \sqrt{12^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$

$LH = \sqrt{(4 - (-4))^{2} + (9 - 0)^{2}} = \sqrt{8^{2} + 9^{2}} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145}$

KL = MH, LM = KH, KM = LH, значит четырехугольник KLMH - прямоугольник

Answer 2

Ответ:

Первое решил, второе решается по такому же принципу. Возможно, есть более просто решение, но я написал первое, которое пришло на ум: доказать, что это прямоугольник за 4 сторонами и 1 углом.