Полином, алгебраическое уравнение, степень многочлена, корень, корневой множитель
а) Используя схему Горнера, вычислите корни алгебраического уравнения 5-й степени.
б) Запишите разложение соответствующего многочлена в произведение корневых множителей.
в) Проверка правильности: построить соответствующий полином для вычисленных корней
Ответы
Ответ:
Давайте выполним каждый из заданных пунктов по очереди:
а) Вычисление корней алгебраического уравнения 5-й степени с использованием схемы Горнера:
Предположим, у нас есть алгебраическое уравнение 5-й степени, например:
\[P(x) = a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0.\]
1. Выбираем начальное приближение для корня, например x = c.
2. Используем схему Горнера для деления многочлена на (x - c). Процедура будет выглядеть так:
\[
\begin{align*}
P_0 &= a_5, \\
P_1 &= a_4 + cP_0, \\
P_2 &= a_3 + cP_1, \\
P_3 &= a_2 + cP_2, \\
P_4 &= a_1 + cP_3, \\
P_5 &= a_0 + cP_4.
\end{align*}
\]
3. Проверяем, является ли P_5 равным нулю. Если P_5 = 0, то c - это корень уравнения.
4. Если P_5 ≠ 0, то используем найденное значение c в качестве начального приближения и повторяем процесс для поиска других корней.
Этот процесс может быть продолжен для нахождения всех корней многочлена.
б) Запишем разложение многочлена в произведение корневых множителей. Для этого мы должны использовать найденные корни многочлена.
Например, если мы нашли корень x = c, то (x - c) - это корневой множитель, и мы можем разложить многочлен следующим образом:
\[P(x) = a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = a_5(x - c)(...),\]
где (...) - оставшаяся часть многочлена.
в) Для проверки правильности найденных корней и разложения многочлена в произведение корневых множителей, вы можете пересчитать значения многочлена с использованием найденных корней. Если вы получите 0, то это будет подтверждением правильности ваших вычислений.