срочнооо!!!!
(Міжнародний математичний конкурс «Кенгуру»). Рівняння x2 + ax + b = 0 i x2 + bx + a = 0 мають дійсні корені. Відомо, що сума квадратів коренів першого рівняння дорівнює сумі квадратів коренів другого рівняння. Чому дорівнює сума а + b, якщо а ≠ b?
Відповідь повинна вийти а + b = -2
Ответы
Ответ:Нехай x₁ і x₂ - корені рівняння x² + ax + b = 0, і x₃ і x₄ - корені рівняння x² + bx + a = 0.
За відомою інформацією, сума квадратів коренів першого рівняння дорівнює сумі квадратів коренів другого рівняння. Це означає:
x₁² + x₂² = x₃² + x₄²
Враховуючи те, що сума коренів в рівнянні зі знаком "мінус" дорівнює -b/a, маємо:
x₁ + x₂ = -a
x₃ + x₄ = -b
Тепер ми можемо записати суму квадратів коренів за допомогою цих сум:
(x₁ + x₂)² = (-a)²
(x₃ + x₄)² = (-b)²
Розкривши квадрати, отримаємо:
x₁² + 2x₁x₂ + x₂² = a²
x₃² + 2x₃x₄ + x₄² = b²
Тепер ми можемо об'єднати два рівняння:
x₁² + 2x₁x₂ + x₂² = a²
x₃² + 2x₃x₄ + x₄² = b²
x₁² + 2x₁x₂ + x₂² + x₃² + 2x₃x₄ + x₄² = a² + b²
Звернімо увагу, що ліва сторона рівняння представляє суму квадратів коренів обох рівнянь. Таким чином, ми маємо:
(x₁² + x₂²) + 2(x₁x₂ + x₃x₄) + (x₃² + x₄²) = a² + b²
Відомо, що сума квадратів коренів першого рівняння дорівнює сумі квадратів коренів другого рівняння, тобто x₁² + x₂² = x₃² + x₄². Підставимо це у рівняння:
2(x₁x₂ + x₃x₄) = a² + b²
Тепер поділимо обидві сторони на 2:
x₁x₂ + x₃x₄ = (a² + b²) / 2
Ми також можемо записати, що добуток коренів першого рівняння дорівнює b (за формулою Vieta), і добуток коренів другого рівняння дорівнює a:
x₁x₂ = b
x₃x₄ = a
Підставимо ці значення в останнє рівняння:
b + a = (a² + b²) / 2
Тепер помножимо обидві сторони на 2, щоб позбутися від знаменника:
2b + 2a = a² + b²
Тепер ми можемо перенести всі терміни на одну сторону:
a² - 2a + b² - 2b = 0
Згрупуємо подібні терміни:
a² - 2a + 1 + b² - 2b + 1 = 0
a² - 2a + 1 + b² - 2b + 1 = (a - 1)² + (b - 1)² = 0
Так як квадрат будь-якого дійсного числа завжди не від'ємний, то єдиний спосіб, як це можливо, це коли обидва доданки дорівнюють нулю:
(a - 1)² = 0 і (b - 1)² = 0
Це означає, що a - 1 = 0 і b - 1 = 0, тобто:
a = 1 і b = 1
Але в умові сказано, що a ≠ b. Таким чином, умова a ≠ b не виконується для отриманого рівняння.
Отже, ми приходимо до висновку, що неможливо знайти a та b, якщо a ≠ b, так як відомості умови суперечать один одному.
Объяснение: