Question

f: A→B
g: B→A
gof=1ₐ(велике А)
Довести що f- ін'єктивне відображення, а g - сур'єктивне
З ПОЯСНЕННЯМ

Answer 1

Ответ:

Доведення

Нехай g:B→A і gof=1

A

​

.

Доведення того, що f є ін'єктивним

Нехай f(x)=f(y) для деяких x,y∈B. Тоді

gof(x) = gof(y)

Згідно з визначенням гомоморфізму, gof(x)=g(f(x)) і gof(y)=g(f(y)). Оскільки gof=1

A, то g(f(x))=g(f(y)). Це означає, що f(x)=f(y). Отже, f є ін'єктивним.

Доведення того, що g є сур'єктивним

Нехай a∈A.

Згідно з визначенням одиничного гомоморфізму, 1

A

​

(a)=a. Оскільки gof=1

A , то g(f(a))=a. Це означає, що для кожного a∈A існує x∈B такий, що g(x)=a. Отже, g є сур'єктивним.

Ін'єктивність f

Ін'єктивність f означає, що різні елементи B відображаються в різні елементи A. Якщо f(x)=f(y) для деяких x,y∈B, то gof(x)=gof(y). Оскільки gof=1

A

​

, то g(f(x))=g(f(y)). Це означає, що f(x)=f(y). Отже, f є ін'єктивним.

Сурб'єктивність g

Сурб'єктивність g означає, що кожен елемент A є образом деякого елемента B. Якщо a∈A, то gof(a)=1

(a)=a. Оскільки gof=1

A, то g(f(a))=a. Отже, для кожного a∈A існує x∈B такий, що g(x)=a.

Пошаговое объяснение: