Question

Точка А1 симметрична вершине А треугольника АВС относительно середины стороны ВС, точка В1 симметична вершине В относительно середины стороны АС. Докажите что точки А1, В1 и С лежат на одной прямой.

Answer 1

Обозначим середину стороны ВС точкой К, а середину стороны АС точкой М. Соединим точку М с точкой К.  В тр-ке АВС отрезок МК является средней линией, следовательно МК параллелен АВ.

Рассмотрим тр-к ВВ1С И в этом тр-ке МК соединяет середины сторон ВС и ВВ1, т.к. ВМ = В1М по условию симметрии, и К - середина стороны ВС по условию задачи. Итак, МК параллельна В1С.

Аналогично для тр-ка АА1С: МК является вредней линией этого тр-ка, и МК параллельна А1С.

Получается, что через точку С проходят две параллельные прямые А1С и В1С. Известно, что через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой МК. Следовательно, А1СВ1 - не ломаная, а прямая, и точки А1, В1 и С лежат на одной прямой.