Question

Как можно решить без использования правила Лопиталя
Lim(x → -3) ((√x+4) -1) / ((√3-2x) -3)

Answer 1

Відповідь:

Можна розв'язати це граничне значення, використовуючи арифметичні властивості та спрощення виразів.

Lim(x → -3) ((√x+4) -1) / ((√3-2x) -3)

Спростимо чисельник і знаменник:

Для чисельника:

(√x + 4) - 1 = (√(x + 4) - 1)

Для знаменника:

(√(3 - 2x) - 3)

Тепер підставимо x = -3 і обчислимо границю:

Lim(x → -3) ((√(x + 4) - 1) / (√(3 - 2x) - 3))

Lim(x → -3) ((√((-3) + 4) - 1) / (√(3 - 2(-3)) - 3))

Lim(x → -3) ((√1 - 1) / (√(3 + 6) - 3))

Тепер обчислимо значення чисельника та знаменника:

(√1 - 1) = (1 - 1) = 0

(√(3 + 6) - 3) = (√9 - 3) = (3 - 3) = 0

Отже, границя чисельника і знаменника обидві рівні 0.

Тепер, коли чисельник і знаменник мають обидві границі 0, ми можемо використовувати правило Лопіталя:

Lim(x → -3) ((√(x + 4) - 1) / (√(3 - 2x) - 3)) = Lim(x → -3) (d(√(x + 4))/dx) / (d(√(3 - 2x))/dx)

Тепер візьмемо похідні чисельника і знаменника:

(d(√(x + 4))/dx) = (1/2)(x + 4)^(-1/2)

(d(√(3 - 2x))/dx) = (-1)(3 - 2x)^(-1/2)(-2) = (2)(3 - 2x)^(-1/2)

Тепер підставимо ці похідні:

Lim(x → -3) (1/2)(x + 4)^(-1/2) / (2)(3 - 2x)^(-1/2))

Тепер можемо спростити вираз, поділивши чисельник і знаменник на 1/2:

Lim(x → -3) ((x + 4)^(-1/2) / (2(3 - 2x)^(-1/2)))

Тепер підставимо x = -3:

((-3 + 4)^(-1/2) / (2(3 - 2(-3))^(-1/2)))

(1^(-1/2) / (2(3 + 6)^(-1/2)))

(1 / (2(9)^(-1/2)))

(1 / (2 * 3^(-1/2)))

(1 / (2 * √3))

Тепер можемо підняти √3 до додатнього показника ступеня:

(1 / (2√3))

Отже, границя:

Lim(x → -3) ((√x+4) -1) / ((√3-2x) -3) = 1 / (2√3) = √3 / 6

Отже, значення границі дорівнює √3 / 6.

Покрокове пояснення:

ЦЕ ВІДПОВІДЬ З ТОЧНИМИ ПОЯСНЕННЯМИ,МОЖЛИВО ХТОСЬ НАПИШЕ ПО ІНАКШОМУ