Заданы точки А, В, С, D. Найти проекцию точки D на проходящую плоскость
через точки А, В, С A(1, 3, 6), B(2, 2, 1), C(-1, 0, 1), D(-4, 6, -3).
Ответы
Ответ: (0; 0; -1)
Объяснение:
Заданы точки А, В, С, D. Найти проекцию точки D на проходящую плоскость через точки А, В, С A(1, 3, 6), B(2, 2, 1), C(-1, 0, 1), D(-4, 6, -3).
Для составления уравнения плоскости, проходящей через точки А, В и С используем формулу:
x – xA y – yA z – zA
xB – xA yB – yA zB – zA
xC – xA yC – yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x – 1 y – 3 z – 6
2 – 1 2 – 3 1 – 6
-1 – 1 0 – 3 1 - 6 = 0
x – 1 y – 3 z – 6
1 -1 -5
-2 -3 -5 = 0
(x – 1)(-1·(-5)-(-5)·(-3)) – (y – 3)(1·(-5)-(-5)·(-2) + (z - )(1·(-3)-(-1)·(-2)) = 0
(-10(x - ) + 15(y - 3 + (-5)(z -) = 0
- 10x + 15y - 5z - 5 = 0
2x - 3y + z + 1 = 0.
Найти проекцию точки D(-4, 6, -3) на плоскость 2x-3y+z+1=0.
Проекцию точки D на плоскость найдем как точку пересечения плоскости перпендикуляром, опущенным из точки D на данную плоскость. Составим уравнение перпендикуляра, опущенного из точки D(-4, 6, -3) на плоскость 2x-3y+z+1=0.
( x+4)/2=(y-6)/(-3)=(z+3)/1
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему из уравнений прямой и плоскости: {█((x+4)/2=(y-6)/(-3)=(z+3)/1@2x-3y+z+1=0)┤, или
{█((x+4)/2=(y-6)/(-3)@(y-6)/(-3)=(z+3)/1@2x-3y+z+1=0)┤, или {█(-3x-2y=0@y+3z=-3@2x-3y+z+1=0)┤.
Решая указанную систему, получим координаты проекции точки D на данную плоскость:
-3x-2y=0 -3x-2y=0 (отсюда у = (-3/2)х.
y+3z=-3 (умножим на 2): 2 y+6z=-6:
Сложим первое уравнение и второе:
-3x-2y=0 (1)
6z+2y=-6. (2)
Сложив эти уравнения, имеем -3x+6z=-6. (3)
Разделим на 6 и выразим относительно z:
z=(x-2)/2. (4)
Подставим значения y=(-3/2)x и z=(x-2)/2 в уравнение 2x-3y+z+1=0.
Получаем 2x+(-9/2)x+((x-2)/2)+1=0 или -4x=0.
Отсюда x=0.
Из уравнения (1) имеем y=(-3/2)*0=0.
Из уравнения (4) имеем z=(0-2)/2=-1.
Ответ: координаты проекции точки D на данную плоскость: (0; 0; -1).
А ещё описки:
(-10(x - ) + 15(y - 3 + (-5)(z -) = 0