Побудуйте переріз правильного тетраедра АВСD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер АВ та АС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АB=3.
Ответы
Ответ:
Побудуємо переріз правильного тетраедра АВСD на площині, яка проходить через вершину D і середини ребер АВ та АС.
1. З'єднаємо середини ребер АВ і АС точками М і Н відповідно. Оскільки тетраедр правильний, то ребра АМ і АН будуть рівні між собою.
B
/\
/ \
М /____\ H
/\ /\
/ \ / \
/____\/____\
A N C
| /\
| / \
| /\/ \
| /________\
D
2. Проведемо пряму, яка проходить через точку D і паралельна площині АМН. Ця пряма перетинає пряму АН в точці К. Також проведемо пряму, яка проходить через точку D і паралельна площині АМН. Ця пряма перетинає пряму АМ в точці Л.
B
/\
/ \
/____\
A C
/ \ / \
/ \ / \
/___D\/______\
K M L
3. Відріжемо відрізок КЛ на половину, щоб відшкодувати відділення симетричних відрізків МК і МЛ. Означимо цю нову точку як Е.
B
/\
/ \
/____\
A C
/ \ / \
E---M---D \
/___K\/______L
4. Переріз буде мастику равнобедреним трапецією з основами АМ і ЕК, оскільки вони рівні, як це випливає з побудованих конструкцій.
B
/\
/ \
/____\
A C
| |
E------K
5. За теоремою Піфагора, довжина сторони ЕК може бути обчислена як
ЕК² = ЕМ² + МК²
ЕК² = (AB/2)² + AB²
ЕК² = (3/2)² + 3²
ЕК² = 9/4 + 9
ЕК² = 9/4 + 36/4
ЕК² = 45/4
ЕК = √(45/4)
ЕК = √45/2
ЕК = (3√5)/2
6. Периметр перерізу може бути обчислений як сума довжин основ АМ і ЕК, а також сума довжин бічних сторін ЭМ і MK:
П = АМ + ЕК + ЭМ + МК
П = AB + (3√5)/2 + AB/2 + AB/2
П = 3 + (3√5)/2 + 3/2 + 3/2
П = (6 + 3 + 3√5)/2
П = (9 + 3√5)/2
7. Площа перерізу може бути обчислена як половина добутку висоти перерізу (відстані між А та Е) на довжину одного з основ, наприклад, АМ:
S = (1/2) * АМ * ЭМ
S = (1/2) * 3 * ((3√5)/2)
S = (3√5)/2 * (3/2)
S = (9√5)/4
Таким чином, периметр перерізу дорівнює (9 + 3√5)/2, а площа перерізу дорівнює (9√5)/4.