Question

Розв'язати систему рiвнянь методом Краметра, Гауса та оберненої матриці. Виконати перевірку коренів системи. 13x – 3y + z = 24
x + y - z = 0
2x - y + 2 = 6​

Answer 1

Ответ:

Ми розв'яжемо цю систему рівнянь за допомогою трьох різних методів: методу Крамера, методу Гауса та методу оберненої матриці.

Метод Крамера:

Спочатку знайдемо детермінант визначників (D, Dx, Dy, Dz) для цієї системи:

Знайдемо D (головний детермінант):

D = |13 -3 1|

| 1 1 -1|

| 2 -1 0|

D = 13 * (1 * 0 + (-1) * (-1)) - (-3) * (1 * 2 + (-1) * 0) + 1 * (1 * (-1) - 1 * 2)

D = 13 * (0 - 1) + 3 * 2 - 1 * (-1 - 2)

D = 13 * (-1) + 6 + 3

D = -13 + 6 + 3

D = -4

Знайдемо Dx (детермінант для x):

Замінимо перший стовпець системи стовпцем вільних членів:

Dx = |24 -3 1|

| 0 1 -1|

| 6 -1 0|

Dx = 24 * (1 * 0 + (-1) * (-1)) - (-3) * (0 * 6 + (-1) * 1) + 1 * (0 * (-1) - 1 * 6)

Dx = 24 * (0 - 1) - (-3) * (0 - 1) + 1 * (0 - 6)

Dx = 24 * (-1) + 3 - 6

Dx = -24 + 3 - 6

Dx = -27

Знайдемо Dy (детермінант для y):

Замінимо другий стовпець системи стовпцем вільних членів:

Dy = |13 24 1|

| 1 0 -1|

| 2 6 0|

Dy = 13 * (0 * 0 + (-1) * 6) - 24 * (1 * 0 + (-1) * 2) + 1 * (1 * 6 - 0 * 2)

Dy = 13 * (0 - 6) - 24 * (0 - 2) + 1 * (6 - 0)

Dy = 13 * (-6) + 24 * 2 + 6

Dy = -78 + 48 + 6

Dy = -24

Знайдемо Dz (детермінант для z):

Замінимо третій стовпець системи стовпцем вільних членів:

Dz = |13 -3 24|

| 1 1 0|

| 2 -1 6|

Dz = 13 * (1 * 6 - 0 * (-1)) - (-3) * (1 * 6 - 0 * 2) + 24 * (1 * (-1) - 1 * 2)

Dz = 13 * (6) - (-3) * (6) + 24 * (-1 - 2)

Dz = 78 + 18 - 72

Dz = 96 - 72

Dz = 24

Тепер знайдемо значення невідомих x, y і z:

x = Dx / D = (-27) / (-4) = 27/4,

y = Dy / D = (-24) / (-4) = 6,

z = Dz / D = (24) / (-4) = -6.

Отже, розв'язок за методом Крамера:

x = 27/4,

y = 6,

z = -6.

Метод Гауса:

Ми можемо розв'язати систему за допомогою методу Гауса, виконуючи елементарні операції над рівняннями:

Перше рівняння не потребує змін, залишаємо його без змін.

Друге рівняння додаємо до першого, щоб позбутися z:

13x - 3y + z = 24

x + y - z = 0

14x - 2y = 24

Третє рівняння помножимо на 2 і додаємо до першого для позбавлення y:

13x - 3y + z = 24

2(2x - y + 1) = 2 * 6

13x - 3y + z = 24

4x - 2y + 2 = 12

17x - 3y = 36

Тепер маємо систему:

14x - 2y = 24

17x - 3y = 36

Для зручності можемо поділити обидва рівняння на 2 і 3 відповідно:

7x - y = 12

17x - 3y = 36

Перше рівняння помножимо на 3 і додаємо до другого:

3(7x - y) = 3 * 12

17x - 3y = 36

21x - 3y = 36

17x - 3y = 36

Віднімаємо друге рівняння від першого:

(21x - 3y) - (17x - 3y) = 36 - 36

Пошаговое объяснение: