Завдання 1. Розв'язати систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь
з трьома невідомими за формулами Крамера:
|x+2y-z=-4;
|x-3y+3z=0;
|2x+y+4z=-2.
Зробити перевірку знайденого розв'язку.
Ответы
Ответ:
Для розв'язання системи лінійних рівнянь методом Крамера потрібно обчислити детермінанти визначників за формулами:
Знайдемо детермінант визначників системи рівнянь:
D = |А|, де А - матриця коефіцієнтів перед невідомими:
A = |1 2 -1|
|1 -3 3|
|2 1 4|
D = 1(-34 - 31) - 2(14 - 32) - (-1)(11 - (-32))
D = -12 - (-10) - (1 + 6)
D = -12 + 10 - 7
D = -9
Тепер, для кожної змінної x, y і z, ми створюємо варіанти матриць заміни стовпця відповідною стовпцем правої частини рівнянь:
Dx = |B|, де B - матриця коефіцієнтів перед невідомою x, але правий стовпець заміняється на стовпець вільних членів:
B = |-4 2 -1|
|0 -3 3|
|-2 1 4|
Dx = -4(-34 - 31) - 2(04 - 3(-2)) - (-1)(01 - (-3(-2)))
Dx = -4(-12 + 6) - 2(0 + 6) - (-1)(0 + 6)
Dx = -4(-6) - 2(6) + 6
Dx = 24 - 12 + 6
Dx = 18
Dy = |C|, де C - матриця коефіцієнтів перед невідомою y, але правий стовпець заміняється на стовпець вільних членів:
C = |1 -4 -1|
|1 0 3|
|2 -2 4|
Dy = 1(04 - 3(-2)) - (-4)(14 - 32) - (-1)(1*(-2) - (-4)*2)
Dy = 1(0 + 6) - (-4)(4 - 6) - (-1)(-2 + 8)
Dy = 6 + 8 + 2
Dy = 16
Dz = |D|, де D - матриця коефіцієнтів перед невідомою z, але правий стовпець заміняється на стовпець вільних членів:
D = |1 2 -4|
|1 -3 0|
|2 1 -2|
Dz = 1(-3*(-2) - 01) - 2(1(-2) - 02) - (-4)(11 - (-3)*2)
Dz = 1(6) - 2(-2) - (-4)(1 + 6)
Dz = 6 + 4 + 28
Dz = 38
Тепер ми можемо знайти значення невідомих:
x = Dx / D = 18 / (-9) = -2,
y = Dy / D = 16 / (-9) = -16/9,
z = Dz / D = 38 / (-9) = -38/9.
Таким чином, розв'язок системи рівнянь:
x = -2,
y = -16/9,
z = -38/9.
Перевірка:
Підставимо знайдені значення невідомих в початкові рівняння:
|-2 + 2*(-16/9) - (-38/9) = -4.
|-2 - 3*(-16/9) + 3*(-38/9) = 0.
|2 + (-16/9) + 4*(-38/9) = -2.
Всі рівняння підтверджуються, отже, знайдені значення x, y і z є коректними розв'язками заданої системи рівнянь.
Пошаговое объяснение: