При яких значеннях а рівняння (a-2)x^2-2(a+3)x+4a=0 має один корінь менше за 2,а другий корінь більший за 3?
Ответы
Ответ:
Для того, щоб рівняння мало один корінь менше за 2 і другий корінь більший за 3, дискримінант цього квадратного рівняння має бути менший за нуль, тобто D < 0.
Дискримінант D визначається так:
D = (b^2 - 4ac).
В рівнянні (a-2)x^2 - 2(a+3)x + 4a = 0:
a = (a - 2),
b = -2(a + 3),
c = 4a.
Підставимо ці значення в формулу для дискримінанта:
D = (-2(a + 3))^2 - 4(a - 2)(4a).
Розкриємо квадрати та спростимо вираз:
D = (4(a^2 + 6a + 9)) - (4(4a^2 - 8a)).
D = 4a^2 + 24a + 36 - 16a^2 + 32a.
D = -12a^2 + 56a + 36.
Тепер ми маємо дискримінант D в залежності від параметра "a". Щоб мати один корінь менше за 2 і другий більший за 3, потрібно, щоб D був менше за нуль:
-12a^2 + 56a + 36 < 0.
Тепер ми можемо розв'язати цю нерівність:
-12a^2 + 56a + 36 < 0.
Спростимо:
-3a^2 + 14a + 9 < 0.
Тепер ми шукаємо інтервали значень "a", для яких ця нерівність виконується. Вона буде виконуватися, коли a належить об'єднанню інтервалів, де вона менше за нуль:
-3a^2 + 14a + 9 < 0.
(a - 3)(3a + 3) < 0.
Два корені:
a1 = 3, a2 = -3.
Тепер розділимо вісь "а" на три інтервали: (-∞, -3), (-3, 3), і (3, +∞). Перевіримо знаки відомі в цих інтервалах. Візьмемо, наприклад, точку "-4" з першого інтервалу:
-3a^2 + 14a + 9 < 0.
-3(-4)^2 + 14(-4) + 9 < 0.
48 < 0 (вірно).
Тепер візьмемо точку "0" з другого інтервалу:
-3(0)^2 + 14(0) + 9 < 0.
9 < 0 (не вірно).
Тепер візьмемо точку "4" з третього інтервалу:
-3(4)^2 + 14(4) + 9 < 0.
9 < 0 (не вірно).
Таким чином, рівняння (a-2)x^2 - 2(a+3)x + 4a = 0 матиме один корінь менше за 2 і другий корінь більший за 3, коли параметр "a" належить інтервалу (-∞, -3) об'єднаному з (3, +∞).
Пошаговое объяснение: