Question

2 SS (x+1)y² dxdy, D. y = 3x², y = 3 вычислить двойной интеграл по области D ограниченной указанноми линиями

Answer 1

Ответ:

Вычислить двойной интеграл по области D , ограниченной линиями

$\displaystyle \bf D:\{\ y=3x^2\ ,\ x=3\ \}$  

Найдём точки пересечения линий .

$\displaystyle \bf 3x^2=3\ \ \ \to \ \ \ x^2=1\ \ ,\ \ x_{1,2}=\pm 1\\\\\iint \limits _{D}(x+1)y^2\. dx\, dy=\int\limits _{-1}^{1}(x+1)\, dx\int\limits_{3x^2}^3\, y^2\, dy=\int\limits _{-1}^{1}(x+1)\Big(\frac{y^3}{3}\Big)\Big|^3_{3x^2}\, dx=\\\\\\=\frac{1}{3}\int\limits _{-1}^{1}(x+1)\cdot (27-27x^6)\, dx=9\int\limits _{-1}^{1}(x+1)(1-x^6)\, dx=$  

$\bf \displaystyle =9\int\limits _{-1}^{1}(x+1-x^7-x^6)\, dx=9\cdot \Big(\frac{x^2}{2}+x-\frac{x^8}{8}-\frac{x^7}{7}\Big)\Big|_{-1}^1=\\\\\\=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{8}-\frac{1}{7}-\Big(\frac{1}{2}-1-\frac{1}{8}+\frac{1}{7}\Big)=2-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}$