Question

З вершини прямокутника опущений перпендикуляр на його діагональ. Основа перпендикуляра ділить цю діагональ на відрізки, менший з яких дорівнює 2 сантиметри. Кут між перпендикуляром та меншою стороною прямокутника дорівнює 30 °. Обчисліть довжину меншої сторони прямокутника та довжини діагоналей

Answer 1

Ответ:

Позначимо меншу сторону прямокутника як "a", більшу сторону як "b", а діагональ як "d".

З умови відомо, що менший з відрізків діагоналі дорівнює 2 см, тобто a = 2 см.

Також відомо, що кут між перпендикуляром та меншою стороною прямокутника дорівнює 30°.

Ми можемо використовувати тригонометричні співвідношення, щоб знайти значення b та d:

1. Тангенс кута 30° дорівнює відношенню протилежної сторони (a) до прилеглої сторони (b), тобто: tan(30°) = a / b.

2. Також відомо, що діагональ може бути виражена через a та b за допомогою теореми Піфагора: d^2 = a^2 + b^2.

3. Ми знаємо, що a = 2 см, і можемо використовувати рівняння tan(30°) = 1/√3 для обчислення b.

tan(30°) = 1/√3 => b = a / (1/√3) => b = 2 см * √3.

4. Тепер ми можемо обчислити d за допомогою теореми Піфагора: d^2 = a^2 + b^2.

d^2 = (2 см)^2 + (2 см * √3)^2.

d^2 = 4 см^2 + 12 см^2 = 16 см^2.

d = √16 см^2 = 4 см.

Отже, менша сторона прямокутника a = 2 см, діагоналі прямокутника d = 4 см, а більша сторона прямокутника b = 2 см * √3.

Answer 2

Позначимо основу перпендикуляра, яка ділить діагональ на дві частини, як **х**. За умовою, одна з цих частин дорівнює 2 см, тому друга частина також дорівнює 2 см.

Допустимо, довжина діагоналі прямокутника дорівнює **d**, довжина меншої сторони - **a**, а довжина більшої сторони - **b**.

За теоремою Піфагора, ми маємо:
**(a/2)^2 + (b/2)^2 = d^2** (1)

Для трикутника, утвореного перпендикуляром і меншою стороною прямокутника, маємо:
**tan(30°) = (a/2)/(x/2) = a/x** (2)

З рівняння (2), ми можемо отримати:
**x = a/(tan(30°))** (3)

Підставивши (3) в (1), отримуємо:
**(a/2)^2 + ((b-x)/2)^2 = d^2** (4)

Тепер ми можемо розв’язати систему рівнянь (1) і (4) для визначення значень **a** і **d**.

Отримані значення довжини меншої сторони прямокутника (**a**) і довжини діагоналі (**d**) можуть бути використані для обчислення довжини більшої сторони прямокутника (**b**).

Для обчислення довжини другої діагоналі, ми можемо скористатися відомою формулою для прямокутника, що каже, що діагоналі прямокутника мають однакову довжину (**d**).