Question

найти неопределённый интеграл
$\frac{ 2{x}^{3} + 6 {x}^{2} + 5x + 4 }{(x - 2){(x + 1)}^{3} } dx$
​

Answer 1

Ответ:

$2\ln |x-2| + \dfrac{1}{2(x-1)^2} + C$

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits \frac{2x^3 + 6x^2 + 5x+4}{(x-2)(x+1)^3} \, dx$

Предположим, что

$\displaystyle \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{(x+1)^3} = \frac{2x^3 + 6x^2 +5x+ 4}{(x-2)(x+1)^3} \\\\\\ A(x+1)^3 + B(x-2) = 2x^3 + 6x^2 + 5x + 4 \\\\ Ax^3 + 3Ax^2 + 3Ax + A + Bx -2B = 2x^3 + 6x^2 + 5x+ 4 \\\\\ Ax^3 + 3Ax^2 + (3A + B)x+ A-2B = 2x^3 + 6x^2 + 5x +4$

Тогда

Ax³ = 2x³ ⇒ A = 2

3Ax² = 6x² ⇒ A = 2 (для перепроверки)

3A + B = 5 ⇒ B = - 1

A - 2B = 4 ⇒ B = - 1 (для перепроверки)

$\displaystyle \int\limits \frac{2x^3 + 6x^2 + 5x+4}{(x-2)(x+1)^3} \, dx = \int\limits \bigg ( \frac{2}{x-2} - \frac{1}{(x-1)^3} \bigg ) \, dx = \\\\\\\ = \int\limits \frac{2}{x-2} \, dx - \int\limits \frac{1}{(x-1)^3} \, dx = 2\int\limits \frac{1}{x-2} \, d(x-2) - \int\limits \frac{1}{(x-1)^3} \, d(x-1) = \\\\\\\ = 2\ln |x-2|- \frac{(x-1)^{-3+1}}{-3+ 1} + C = 2\ln |x-2| + \frac{1}{2(x-1)^2} + C$