Question

Знайдіть методом Гауса

Answer 1

Ответ:

Метод Гаусса решения однородных систем линейных уравнений .

$\left\{\begin{array}{l}\bf x_1-x_2+2x_3+x_4=0\ ,\\\bf 5x_1-2x_2+5x_3+4x_4=0\ ,\\\bf -2x_1+x_2-x_3-2x_4=0\ ,\\\bf -2x_1+x_2-x_3-2x_4=0\ .\end{array}\right$

Выписываем матрицу системы и приводим её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований .

$\left(\begin{array}{cccc}1&-1&2&1\\5&-2&5&4\\-2&1&-1&-2\\-2&1&-1&-2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1&-1&2&1\\5&-2&5&4\\-2&1&-1&-2\end{array}\right)\sim$  

1 строка * (-5) + 2 строка ;    1 строка * 2 + 3 строка  ;  

$\sim \left(\begin{array}{cccc}1&-1&2&1\\0&3&-5&-1\\0&-1&3&0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1&-1&2&1\\0&-1&3&0\\0&3&-5&-1\end{array}\right)\sim$  

Поменяли 2 и 3 строки ;   2 строка * 3 + 3 строка  ;

$\sim \left(\begin{array}{cccc}1&-1&2&1\\0&-1&3&0\\0&0&4&-1\end{array}\right)$        

Выбираем базисный минор и базисные неизвестные .

Это будут  х₁ , х₂ , х₃ .  Cвободное неизвестное х₄  .  Выразим базисные неизвестные через свободное неизвестное .

$\left\{\begin{array}{r}x_1-x_2+2x_3+x_4=0\\-x_2+3x_3=0\\4x_3-x_4=0\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{r}x_1-x_2+\frac{1}{2}x_4+x_4=0\\-x_2+\frac{3}{4}x_4=0\\x_3=\frac{1}{4}x_4\end{array}\right$  

$\left\{\begin{array}{r}x_1-\dfrac{3}{4}x_4+\dfrac{1}{2}x_4+x_4=0\\x_2=\dfrac{3}{4}x_4\\x_3=\dfrac{1}{4}x_4\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{l}x_1=\dfrac{3}{4}x_4\\\ x_2=\dfrac{3}{4}x_4\\x_3=\dfrac{1}{4}x_4\end{array}\right$        

Пусть   х₄ = С  , тогда решение однородной системы будет иметь вид:

$\bf X=\left(\begin{array}{l}\bf \dfrac{3}{4}\, C\\\ \, \bf \dfrac{3}{4}\, C\\\bf \dfrac{1}{4}\, C\end{array}\right)$