5. Тіло обертасться навколо нерухомоï вiсi по закону.ф = 2+12t-t². Знайти
повне прискорення точки (величину і напрям), яка знаходиться на відстані 0,1
м від осі обертання, для момента часу 2 с
Ответы
Для знаходження повного прискорення точки, яка знаходиться на відстані 0,1 м від осі обертання, використовуємо рівняння для прискорення в радіальному напрямку у полярних координатах:
a_r = (d^2r)/(dt^2) - r * (dθ^2)/(dt^2),
де:
a_r - радіальне прискорення,
r - радіус (в даному випадку 0,1 м),
dr/dt - швидкість у радіальному напрямку,
d^2r/dt^2 - друга похідна радіуса за часом (прискорення у радіальному напрямку),
θ - кутова координата,
dθ/dt - кутова швидкість,
d^2θ/dt^2 - друга похідна кутової координати за часом (кутове прискорення).
У нашому випадку відома функція f(t) = 2 + 12t - t^2, яка представляє собою функцію радіуса r(t) у залежності від часу. Щоб знайти прискорення у радіальному напрямку, використовуємо наступні кроки:
Знайдемо швидкість у радіальному напрямку (dr/dt):
dr/dt = (dr/dt) = (d(2 + 12t - t^2)/dt) = 12 - 2t.
Знайдемо кутову координату θ:
θ = θ_0 + ∫(dθ/dt) dt = θ_0 + ∫(12 - 2t) dt = θ_0 + [12t - t^2 + C],
де θ_0 - початкова кутова координата (при t = 0), C - константа інтегрування.
Знайдемо кутову швидкість (dθ/dt):
dθ/dt = 12 - 2t.
Знайдемо кутове прискорення (d^2θ/dt^2):
d^2θ/dt^2 = -2.
Тепер можемо знайти радіальне прискорення (a_r) за допомогою рівняння:
a_r = (d^2r/dt^2) - r * (dθ^2/dt^2).
Підставимо значення:
a_r = (-2) - (0.1) * (-2) = -2 + 0.2 = -1.8 м/с^2.
Отже, радіальне прискорення точки, яка знаходиться на відстані 0,1 м від осі обертання, для момента часу 2 с дорівнює -1,8 м/с^2. Його напрям від центра обертання до точки обертання.