Question

Розв'яжіть рівняння:
$x^{10} = - 1$

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Рівняння x¹⁰ = -1 можна переписати у вигляді x¹⁰ + 1 = 0.

Застосовуємо формулу різниці кубів:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

Отже, застосовуючи цю формулу, ми можемо записати рівняння у наступному вигляді:

(x²)⁵ + 1³ = 0.

Тепер ми можемо застосувати формулу різниці квадратів:

a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²).

Підставляючи a = x² і b = 1 в формулу, отримуємо:

(x²)² - 1² = (x² + 1)(x² - 1).

Отже, можемо записати рівняння у наступному вигляді:

(x² + 1)(x² - 1)(x² + 1) = 0.

Помітимо, що (x² + 1)² = (x⁴ + 2x² + 1), тому рівняння можна подальше спростити:

(x⁴ - 1)(x⁴ + 1) = 0.

Таким чином, ми розбили наше початкове рівняння на дві частини:

1) x⁴ - 1 = 0,

2) x⁴ + 1 = 0.

Розв'язавши ці два рівняння, отримаємо відповіді:

1) x⁴ - 1 = 0:

  (x² - 1)(x² + 1) = 0.

  Розв'язавши це рівняння, отримаємо x = -1, x = 1.

2) x⁴ + 1 = 0:

  x⁴ = -1.

  Зауважимо, що неможливо знайти дійсне значення x, яке піднесене до четного степеня дорівнює від'ємному числу. Тому в цьому випадку роз'язків на множині дійсних чисел немає.

Таким чином, рівняння x¹⁰ = -1 має два розв'язки: x = -1 і x = 1.