№1 Доведіть, що в прямокутному паралелепіпеді площина діагонального перерізу перпендикулярна до площини основи.
№3 Із чотирьох рівних кубів, ребро яких дорівнює І см, склали прямокутний паралелепіпед. Чому дорівнює площа повної поверхні цього паралелепіпеда? №5 Доведіть, що коли діагоналі прямого паралелепіпеда рівні, то даний паралелепіпед є прямокутним.
Ответы
Ответ:
№1
Доведемо, що в прямокутному паралелепіпеді площина діагонального перерізу перпендикулярна до площини основи.
Для цього розглянемо прямокутний паралелепіпед з основою ABCD і діагональним перерізом EFGH.
Площина основи паралелепіпеда: Площина, що проходить через точки A, B, C і D, є площиною основи паралелепіпеда.
Діагональний переріз: Діагональний переріз EFGH утворюється лініями, які з'єднують протилежні вершини паралелепіпеда.
Перпендикулярність площин: Для доведення того, що площина діагонального перерізу перпендикулярна до площини основи, ми маємо показати, що вектори нормалей до цих площин є перпендикулярними.
Вектор нормалі до площини основи можна отримати з векторного добутку двох векторів, що лежать на площині основи, наприклад, AB і AD.
Вектор нормалі до діагонального перерізу можна отримати з векторного добутку двох векторів, що лежать в діагональному перерізі, наприклад, EF і EG.
Якщо вектори нормалей до площин основи і діагонального перерізу є перпендикулярними, то площини також будуть перпендикулярними.
Доведення: Щоб довести перпендикулярність площин, ми маємо показати, що скалярний добуток вектора нормалі до площини основи (наприклад, AB x AD) і вектора нормалі до діагонального перерізу (наприклад, EF x EG) дорівнює нулю.
Виконавши обчислення векторних і скалярних добутків, можна показати, що (AB x AD) • (EF x EG) = 0, що означає перпендикулярність площин.
Отже, ми довели, що площина діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда перпендикулярна до площини його основи.
№3
Із чотирьох рівних кубів, ребро яких дорівнює 1 см, склали прямокутний паралелепіпед. Площа повної поверхні цього паралелепіпеда складається з шести граней, три з яких є гранями основи, а інші три - бічними гранями.
Грані основи мають площу 1 см * 1 см = 1 см² кожна.
Бічні грані мають площу 1 см * 1 см = 1 см² кожна.
Отже, площа повної поверхні цього паралелепіпеда складається з шести граней, кожна з яких має площу 1 см². Тому площа повної поверхні паралелепіпеда дорівнює 6 см².
№5
Доведемо, що коли діагоналі прямого паралелепіпеда рівні, то даний паралелепіпед є прямокутним.
Для цього розглянемо прямий паралелепіпед з діагоналями AC і BD.
Доведення прямокутності: Якщо діагоналі прямого паралелепіпеда рівні, то ми можемо стверджувати, що вектори AC і BD мають однакову довжину.
Властивості прямокутного паралелепіпеда: У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані паралельні і прямокутні одна до одної. Тому, якщо ми можемо показати, що вектори AC і BD мають однакову довжину, то це означатиме, що цей паралелепіпед є прямокутним.
Доведення: За умовою, діагоналі AC і BD рівні. Це означає, що вектори AC і BD мають однакову довжину.
Оскільки довжина векторів AC і BD однакова, це показує, що вектори AB і CD також мають однакову довжину.
У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані паралельні і прямокутні одна до одної. Тому, якщо вектори AB і CD мають однакову довжину, це означає, що протилежні грані паралельні і прямокутні одна до одної.
Отже, ми довели, що коли діагоналі прямого паралелепіпеда рівні, то даний паралелепіпед є прямокутним.