Question

Решить надо производные, очень срочно! (Продифференцировать данные функции.)

Answer 1

Ответ:

5.   $\displaystyle \bf y' =\frac{(x-2)^{\frac{2}{3} }(x+3)(\frac{2}{3} x^2-\frac{83}{3} x-11)}{(x-7)^4}$

7.   $\displaystyle y'_x=-\frac{3}{5}$

Пошаговое объяснение:

Найти производные:

$\displaystyle \bf 5)\;\;\; y=\frac{\sqrt[3]{(x-2)^5}(x+3)^2 }{(x-7)^3}$     или     $\displaystyle \bf y=\frac{{(x-2)^{\frac{5}{3} }}(x+3)^2 }{(x-7)^3}$

Производная произведения:

$\boxed {\displaystyle \bf (uv)'=u'v+uv'}$

Производная частного:

$\boxed {\displaystyle \bf \left(\frac{u}{v}\right) '=\frac{u'v-uv'}{v^2} }$

$\displaystyle y'=\frac{((x-2)^{\frac{5}{3}}(x+3)^2 )'\cdot (x-7)^3-(x-2)^{\frac{5}{3}}(x+3)^2 \cdot ((x-7)^3)'}{(x-7)^6} =$

---------------------------------------------------------------------------------------------

Для удобства вычислим отдельно:

$\displaystyle ((x-2)^{\frac{5}{3}}(x+3 )^2)'=((x-2)^{\frac{5}{3} })'(x+3)^2+(x-2)^\frac{5}{3}((x+3)^2)'=\\\\ \\=\frac{5}{3}(x-2)^{\frac{2}{3} } (x+3)^2+(x-2)^{\frac{5}{3} }\cdot2(x+3)=\\\\\\=(x-2)^{\frac{2}{3} }(x+3)\left(\frac{5}{3} (x+3)+2(x-2)\right)=\\\\\\=(x-2)^{\frac{2}{3} }(x+3)\left(\frac{5}{3}x+5 +2x-4\right)=\\\\\\=(x-2)^{\frac{2}{3} }(x+3)\left(\frac{11}{3}x+1\right)$

$\displaystyle ((x-7)^3)'=3(x-7)^2$

-----------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle =\frac{(x-2)^{\frac{2}{3} } (x+3)(\frac{11}{3}x+1)(x-7)^3-(x-2)^{\frac{5}{3} }(x+3)^2\cdot3(x-7)^2}{(x-7)^6}=\\ \\\\=\frac{(x-2)^{\frac{2}{3} }(x+3)(x-7)^2((\frac{11}{3} x+1)(x-7)-3(x-2)(x+3))}{(x-7)^6} =\\\\\\=\frac{(x-2)^{\frac{2}{3} }(x+3)(x-7)^2(\frac{11}{3} x^2-\frac{77}{3} x+x-7-3x^2-9x+6x+18)}{(x-7)^6} =\\\\\\=\frac{(x-2)^{\frac{2}{3} }(x+3)(x-7)^2(\frac{2}{3} x^2-\frac{83}{3} x-11)}{(x-7)^6}=$

$\displaystyle \bf =\frac{(x-2)^{\frac{2}{3} }(x+3)(\frac{2}{3} x^2-\frac{83}{3} x-11)}{(x-7)^4}$

$\displaystyle \bf 7)\;\;\;\left \{ {{x=5cos^2t} \atop {y=3sin^2t}} \right.$

Производная от функции, заданной параметрически:

$\boxed {\displaystyle \bf y'_x=\frac{y'_t}{x'_t} }$

$\displaystyle x'_t=5\cdot 2cost\cdot(cost)'=5\cdot 2cost\cdot(-sint)=-5\cdot 2sint\;cost=-5sin2t$

$\displaystyle y'_t=3\cdot2sint\cdot (sint)'=3\cdot 2sint\cdot cost=3\cdot 2sint\;cost=3sin2t$

$\displaystyle y'_x=\frac{3sin\;2t}{-5sin\;2t} =-\frac{3}{5}$

#SPJ1