Question

СРОЧНО!!! Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а, а бічне ребро утворює з площиною основи кут альфа. Знайдіть площу діагонального перерізу піраміди.(пояснення та малюнок)

Answer 1

Ответ:

Площа діагонального перерізу піраміди дорівнює

$\dfrac{ {a}^{2} tg \alpha }{2}$

Объяснение:

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а, а бічне ребро утворює з площиною основи кут альфа. Знайдіть площу діагонального перерізу піраміди.

• Переріз піраміди, що проходить через два бічних ребра, які не належать одній грані, називають діагональним перерізом.

Маємо правильну чотирикутну піраміду SABCD, в основі якої лежить правильний чотирикутник (квадрат) ABCD.

Нехай довжина сторони його дорівнює a.

Висота SO правильної трикутної піраміди проектується у центр квадрата ABCD - точку перетину діагоналей AC і BD. Оскільки висота SO перпендикулярна до площини основи (квадрата ABCD), то вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цій площині, тому SO⊥AC.

Відрізок SA - похила, а AO - проекція похилої на площину основи (ΔABC), тому:

∠SAO = α - кут ніхілу бічного ребра до площини основи.

Оскільки трикутник ASC є діагональним перерізом піраміди, то висота піраміди SO є висотою трикутника ASC проведеної до основи AC.

Площа діагонального перерізу - це площа △ASC:

S(△ASC) = ½ • AC • SO

AC - це діагональ квадрата ABCD.

AC = а√2

Так як діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл, то:

AO = OC = ½•а√2

Розглянемо прямокутний трикутник АSO(∠AOS=90°) у якого AO - прилеглий катет і SO - протилежний катет до ∠SAO = α.

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника маємо:

$tg \alpha = \dfrac{SO}{AO}$

$SO = AO \times tg \alpha = \dfrac{a \sqrt{2} }{2} tg \alpha$

Тоді:

$S_{ASC} = \dfrac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \dfrac{a \sqrt{2} }{2} tg \alpha = \bf \dfrac{ {a}^{2}tg \alpha }{2}$

#SPJ1